[論文レビュー] Spectra of large random trees

Shankar Bhamidi, Steven N. Evans+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2009

Random Matrices and Applications参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、確率的フリンジ収束とインターリーシング不等式を用いて、さまざまな大規模なランダム木の隣接行列の経験的固有値分布（ESD）が、決定的極限へほとんど確実に収束することを確立している。偏り付きアタッチメント、再帰的木、一様木といったモデルにおいて、極限固有値測度が実直線上に稠密な原子集合を持つことが示され、最大マッチングを用いたゼロ固有値の数の精密漸近的評価が得られ、重み付きマッチングと同型性に関する結果が拡張されている。

ABSTRACT

We analyze the eigenvalues of the adjacency matrices of a wide variety of random trees. Using general, broadly applicable arguments based on the interlacing inequalities for the eigenvalues of a principal submatrix of a Hermitian matrix and a suitable notion of local weak convergence for an ensemble of random trees, we show that the empirical spectral distributions for each of a number of random tree models converge to a deterministic (model dependent) limit as the number of vertices goes to infinity. We conclude for ensembles such as the linear preferential attachment models, random recursive trees, and the uniform random trees that the limiting spectral distribution has a set of atoms that is dense in the real line. We obtain precise asymptotics on the mass assigned to zero by the empirical spectral measures via the connection with the cardinality of a maximal matching. Moreover, we show that the total weight of a weighted matching is asymptotically equivalent to a constant multiple of the number of vertices when the edge weights are independent, identically distributed, non-negative random variables with finite expected value. We greatly extend a celebrated result obtained by Schwenk for the uniform random trees by showing that, under mild conditions, with probability converging to one, the spectrum of a realization is shared by at least one other tree. For the the linear preferential attachment model with parameter $a > -1$, we show that the suitably rescaled $k$ largest eigenvalues converge jointly.

研究の動機と目的

• 多数のモデルにわたって、大規模なランダム木の隣接行列の経験的固有値分布（ESD）が、弱収束により決定的極限へ収束することを確立すること。
• 最大マッチングの組合せ的性質を用いて、ランダム木におけるゼロ固有値の数の極限的挙動を分析すること。
• ランダム木における重み付きマッチングに関する結果を拡張し、同分布の非負の辺重みのもとで、最大重み付きマッチングの総重量が頂点数の定数倍と漸近的に同値であることを示すこと。
• ランダム木の集合における同型性（同型でないが固有値が同じである木が存在する）の性質を調査し、高確率で、木のスペクトルが非同型な木と共有可能であることを証明すること。
• 線形偏り付きアタッチメントモデルにおける最大固有値の同時極限分布を、$ n^{1/2\gamma_a} $ でスケーリングした上で特徴づけること。

提案手法

• ランダム木の集合に対して、確率的フリンジ収束（局所的弱収束の一種）を用いてスペクトル極限を分析する。
• エルミート行列の主部分行列の固有値に対するインターリーシング不等式を適用し、局所的な木構造とスペクトル挙動の関係を関係づける。
• カープ＝シプサー法の簡略化版を用いて、ランダム木における最大マッチングを構築および分析する。
• 組合せ的恒等式を用いて、隣接行列のゼロ固有値の数を最大マッチングのサイズに関連付ける。
• ランプライトャー群のケイリー図における母関数および行列のべき乗を用いて、極限固有値測度のモーメントを計算する。
• ランプライトャー群の表現論を用いて行列のべき乗を分析し、スペクトルモーメントの式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点数が無限大に近づくとき、大規模なランダム木の隣接行列の経験的固有値分布（ESD）は弱収束して決定的極限へ収束するか？
• RQ2 ランダム木におけるゼロ固有値の数の極限的挙動は何か？ また、これは最大マッチングのサイズとどのように関係するか？
• RQ3 同分布の非負の辺重みを有するランダム木において、最大重み付きマッチングの総重量は、頂点数の定数倍として漸近的に特徴づけられるか？
• RQ4 大規模なランダム木モデルにおいて、ランダム木が非同型な木と固有値を共有する確率はどの程度か？
• RQ5 線形偏り付きアタッチメントモデルにおける隣接行列の最大固有値は、どのように漸近的に振る舞い、適切にスケーリングした後に同時極限分布はどのようなものか？

主な発見

• 多数のランダム木モデルにおける隣接行列の経験的固有値分布（ESD）は、頂点数が無限大に近づくにつれて弱収束して決定的極限へ収束する。
• 線形偏り付きアタッチメント、再帰的木、一様木といったモデルの極限固有値測度は、実直線上に稠密な原子集合を持つ。
• 隣接行列におけるゼロ固有値の割合は、確率的に定数に収束し、その極限は木内の最大マッチングのサイズによって決定される。
• 有限な平均を持つ同分布の非負の辺重みを有する場合、最大重み付きマッチングの総重量は頂点数の定数倍と漸近的に同値である。
• 線形偏り付きアタッチメントモデル（パrameter $ a > -1 $）に属するランダム木は、確率が1に近づくにつれて、非同型な木と固有値を共有する。
• 線形偏り付きアタッチメントモデルにおける $ k $ 個の最大固有値は、$ n^{1/2\gamma_a} $ でスケーリングした後、非退化な極限分布に同時に収束する。ただし $ \gamma_a = a+2 $ である。