[論文レビュー] Spectra of the subdivision-vertex and subdivision-edge coronae

Pengli Lu, Yufang Miao|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2013

Graph theory and applications参考文献 13被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、元のグラフ $G_1$ と $G_2$ のスペクトルに基づき、2つの新しいグラフ操作、すなわち分割頂点コーネィング $G_1 \bigodot G_2$ および分割辺コーネィング $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$ の隣接行列、ラプラシアン行列、および符号なしラプラシアン行列の明示的公式を導出する。主な貢献は、行列コーネィング理論とクリロネッカー積を用いた完全なスペクトル的特徴付けであり、これにより無限個の同スペクトル的グラフおよび整数スペクトルを持つグラフの族の構成が可能になり、全域木の数およびキルホフ指数の正確な公式が得られる。

ABSTRACT

The subdivision graph $\mathcal{S}(G)$ of a graph $G$ is the graph obtained by inserting a new vertex into every edge of $G$. Let $G_1$ and $G_2$ be two vertex disjoint graphs. The \emph{subdivision-vertex corona} of $G_1$ and $G_2$, denoted by $G_1\odot G_2$, is the graph obtained from $\mathcal{S}(G_1)$ and $|V(G_1)|$ copies of $G_2$, all vertex-disjoint, by joining the $i$th vertex of $V(G_1)$ to every vertex in the $i$th copy of $G_2$. The \emph{subdivision-edge corona} of $G_1$ and $G_2$, denoted by $G_1\circleddash G_2$, is the graph obtained from $\mathcal{S}(G_1)$ and $|I(G_1)|$ copies of $G_2$, all vertex-disjoint, by joining the $i$th vertex of $I(G_1)$ to every vertex in the $i$th copy of $G_2$, where $I(G_1)$ is the set of inserted vertices of $\mathcal{S}(G_1)$. In this paper we determine the adjacency spectra, the Laplacian spectra and the signless Laplacian spectra of $G_1\odot G_2$ (respectively, $G_1\circleddash G_2$) in terms of the corresponding spectra of $G_1$ and $G_2$. As applications, the results on the spectra of $G_1\odot G_2$ (respectively, $G_1\circleddash G_2$) enable us to construct infinitely many pairs of cospectral graphs. The adjacency spectra of $G_1\odot G_2$ (respectively, $G_1\circleddash G_2$) help us to construct many infinite families of integral graphs. By using the Laplacian spectra, we also obtain the number of spanning trees and Kirchhoff index of $G_1\odot G_2$ and $G_1\circleddash G_2$, respectively.

研究の動機と目的

• 分割グラフに基づいて、2つの新しいグラフ操作、すなわち分割頂点コーネィングと分割辺コーネィングを定義し、形式化すること。
• これらの新しいグラフ操作の隣接行列、ラプラシアン行列、および符号なしラプラシアン行列のスペクトルに対する閉形式の表現を導出すること。
• 得られたスペクトル結果を応用し、無限個の同スペクトル的グラフおよび整数スペクトルを持つグラフの族を構成すること。
• 得られたグラフの全域木の数およびキルホフ指数の正確な公式を計算すること。
• グラフ $G_1$ と $G_2$ のスペクトルに基づいて、$G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$ と $G_1 \bigodot G_2$ が同スペクトル的または整数スペクトルを持つための条件を確立すること。

提案手法

• グラフ $G_1 \bigodot G_2$ を、$G_1$ の各頂点を分割グラフ $\mathcal{S}(G_1)$ のコピーに属するすべての頂点に接続することで得られるグラフとして定義する。
• グラフ $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$ を、$\mathcal{S}(G_1)$ の各挿入頂点（辺の分割によって得られる頂点）を $G_2$ のコピーに属するすべての頂点に接続することで得られるグラフとして定義する。
• 隣接行列、ラプラシアン行列、および符号なしラプラシアン行列の新しいグラフの行列を分解するために、行列コーネィング関数 $\Gamma_M(x)$ とクリロネッカー積の技術を用いる。
• スペクトル分解およびブロック行列の行列式恒等式を適用し、$G_1$ と $G_2$ の用語で得られたグラフの特性多項式を導出する。
• 正則性の仮定（例：$G_1$ が正則）を用いてスペクトル表現を簡略化し、閉形式の結果を導出する。
• 得られたスペクトル公式を用いて、固有値に基づく恒等式を介して全域木の数およびキルホフ指数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割頂点コーネィングおよび分割辺コーネィングの隣接行列、ラプラシアン行列、および符号なしラプラシアン行列のスペクトルは、元のグラフ $G_1$ と $G_2$ のスペクトルを用いてどのように表現できるか？
• RQ2 $G_1 \bigodot G_2$ と $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$ が同スペクトル的グラフを生成するための条件は何か？
• RQ3 スペクトル公式を用いて、無限個の整数スペクトルを持つグラフの族を生成できるか？
• RQ4 $G_1 \bigodot G_2$ および $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$ の全域木の数およびキルホフ指数の正確な公式は何か？
• RQ5 $G_1$ の正則性がスペクトル分解および得られる公式にどのように影響するか？

主な発見

• 分割頂点コーネィング $G_1 \bigodot G_2$ の隣接スペクトルは、$G_1$ と $G_2$ のスペクトルによって完全に決定され、行列コーネィング関数とクリロネッカー積を用いて固有値が導出される。
• 分割辺コーネィング $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$ のラプラシアンスペクトルは、$x-2-n_2 - \frac{1}{x-1} \text{Tr}(\text{resolvent of } L(G_2))$ を含む項の積として与えられ、$G_1$ および $G_2$ の固有値から得られる。
• 分割辺コーネィング $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$ の全域木の数は、$t(G_1 \bigcirc\bigcirc G_2) = \frac{2^{m_1 - n_1} (2 + r_1 + r_1 n_2)^{n_1} t(G_1) \textstyle\bigotimes_{i=2}^{n_2} (\nu_i(G_2) + 1)^{m_1}}{n_1 + m_1 + m_1 n_2}$ で与えられる。ここで $G_1$ は $r_1$-正則である。
• 分割辺コーネィング $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$ のキルホフ指数は、$Kf(G_1 \bigcirc\bigcirc G_2) = (m_1(1+n_2)+n_1) \times \big( \frac{(3+n_2)m_1 - (n_2+1)n_1 - 2}{2} + \frac{3 + r_1 + n_2}{2 + r_1 + r_1 n_2} + \frac{2 + r_1 + r_1 n_2}{n_1} Kf(G_1) + \textstyle\bigotimes_{i=2}^{n_2} \frac{m_1}{1 + \nu_i(G_2)} \big)$ として表される。
• もし $G_1$ と $G_2$ が $L$-同スペクトル的正則グラフであれば、任意のグラフ $H$ に対して $G_1 \bigcirc\bigcirc H$ と $G_2 \bigcirc\bigcirc H$ は $L$-同スペクトル的である。
• もし $G$ が正則であり、$H_1$ と $H_2$ が $Q$-同スペクトル的で、同じ行列コーネィング関数を持つならば、$G \bigcirc\bigcirc H_1$ と $G \bigcirc\bigcirc H_2$ は $Q$-同スペクトル的である。