[論文レビュー] Spectra of Upper-triangular Operator Matrix

Shifang Zhang, Huaijie Zhong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2009

Holomorphic and Operator Theory参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Banach空間 $ X \oplus Y $ 上の 2×2 上三角作用素行列 $ M_C = \begin{pmatrix} A & C \ 0 & B \end{pmatrix} $ のスペクトル性質を調査し、20種類のスペクトルとその穴埋め性について分析している。著者らは、以前に予想されていた特定のスペクトル包含関係が成り立たないことを示し、スペクトル理論における作用素行列の既存の仮定に反する反例を提示している。

ABSTRACT

Let $X$ and $Y$ be Banach spaces, $A\in B(X)$, $B\in B(Y)$, $C\in B(Y, X)$, $M_{C}=({cc}A&C 0&B)$ be the operator matrix acting on the Banach space $X\oplus Y$. In this paper, we give out 20 kind spectra structure of $M_C$, decide 18 kind spectra filling-in-hole properties of $M_C$, and present 10 examples to show that some conclusions about the spectra structure or filling-in-hole properties of $M_C$ are not true.

研究の動機と目的

• 上三角作用素行列 $ M_C $ が作用する $ X \oplus Y $ に於ける20種類の異なるスペクトルを体系的に分析すること。
• これらのスペクトルのうち、特に対角ブロック $ A $ と $ B $ のスペクトルに関連して、穴埋め性を満たすものかどうかを特定すること。
• 特に本質的スペクトルとWeylスペクトルを含む、以前に主張されたスペクトル包含関係を検証し、誤りを是正すること。
• 特定のスペクトル包含関係（例：$ \sigma_w(M_C) \subseteq \sigma_e(M_C) $）が一般には成り立たないことを示す明示的反例を提示すること。

提案手法

• 著者らは、可逆性、Fredholm性、Weyl性、Browder性およびその左/右変種といった標準的作用素クラスを用いて、$ M_C $ に対して20種類のスペクトルを定義している。
• 穴埋め性の分析は、$ M_C $ のスペクトルと $ A $、$ B $ のスペクトルの和集合を比較することで行われ、特に本質的スペクトルおよびWeylスペクトルの穴に注目している。
• 上昇・下降およびインデックス理論を用いた関数解析的技法により、$ M_C - \lambda I $ の核および像の性質を特徴づけ、スペクトル集合を同定している。
• $ \ell^2 $ 上でシフト作用素 $ T, S $ と補助的演算子 $ C_1, C_2, C_3 $ を用いた具体的な例を構築し、スペクトル包含関係を検証している。
• 反例は、特定の演算子 $ A = T $、$ B = S $、$ C = C_3 = I - TS $ および $ T_1, S_1 $、ブロック行列を用いた変種を用いて構築されている。
• スペクトル包含関係の検証には、$ \sigma_{se}(M_C) \stackrel{?}{=} \sigma_{se}(A) \cup \sigma_{se}(B) \cup (\overline{\sigma_p(A^*)} \cap \sigma_p(B)) $ を用い、この等式が成立しないことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 本質的スペクトル $ \sigma_{se}(M_C) $ は、$ \sigma_{se}(M_C) = \sigma_{se}(A) \cup \sigma_{se}(B) \cup (\overline{\sigma_p(A^*)} \cap \sigma_p(B)) $ を満たすか？
• RQ2 Weylスペクトル $ \sigma_w(M_C) $ は常に本質的スペクトル $ \sigma_e(M_C) $ に含まれるか？
• RQ3 $ \sigma_{rD} $ および $ \sigma_{lD} $ は、$ \sigma_{rD}(A) \cup \sigma_{rD}(B) $ に関して一般化された穴埋め性を満たすか？
• RQ4 ある $ C \in B(Y,X) $ に対して、包含関係 $ \sigma_w(M_C) \subseteq \sigma_e(M_C) $ が成り立たないことはあり得るか？
• RQ5 包含関係 $ \sigma_D(M_C) \subseteq \sigma_e(M_C) $ は常に成り立つのか、それとも真に包含関係となることがあるか？

主な発見

• 包含関係 $ \sigma_w(M_C) \subseteq \sigma_e(M_C) $ は一般には成り立たない。反例として $ A = T $、$ B = S $、$ C = C_3 $ を用いた構成がなされた。
• 包含関係 $ \sigma_w(M_C) \subseteq \sigma_D(M_C) $ は $ A = T $、$ B = S $、$ C = 0 $ のときにも成立しない。これは $ \sigma_w $ が $ \sigma_D $ に含まれないことを示している。
• 包含関係 $ \sigma_e(M_C) \subseteq \sigma_D(M_C) $ は誤りである。反例として $ A = T_1 $、$ B = \begin{pmatrix} S_1 & 0 \\ 0 & S \end{pmatrix} $、$ C = (C_1, 0) $ を用いた。
• 包含関係 $ \sigma_e(M_C) \subseteq \sigma_w(M_C) $ は $ A = T_1 $、$ B = S_1 $、$ C = C_2 $ のときにも成立しない。これは $ \sigma_e $ が $ \sigma_w $ に含まれないことを示している。
• 包含関係 $ \sigma_D(M_C) \subseteq \sigma_e(M_C) $ は $ A = T $、$ B = \begin{pmatrix} S & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $、$ C = (C_3, 0) $ のときにも成立しない。この場合、$ \sigma_D(M_C) $ は $ \sigma_e(M_C) $ や $ \sigma_w(M_C) $ に含まれない。
• 主張されたスペクトル恒等式 $ \sigma_{se}(M_C) = \sigma_{se}(A) \cup \sigma_{se}(B) \cup (\overline{\sigma_p(A^*)} \cap \sigma_p(B)) $ は誤りである。反例により、差集合 $ W $ が単一の点であることが示され、開集合ではないことが判明した。