[論文レビュー] Spectra Originated from Fredholm Theory and Browder's Theorem

Mohamed Amouch, Mohamed Karmouni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、擬似B-Weylスペクトルと一般化Drazinスペクトルの等価性を証明することで、Browderの定理の新しい特徴付けを確立する。さらに、擬似B-Fredholmおよび擬似B-Weylスペクトルが可換Riesz摂動のもとで安定することを示し、一般化Kato分解およびFredholm型分解を用いてBanach空間作用素におけるスペクトル理論の結果を拡張する。

ABSTRACT

We give a new characterization of Browders theorem through equality between the pseudo B-Weyl spectrum and the generalized Drazin spectrum. Also, we will give conditions under which pseudo B-Fredholm and pseudo B-Weyl spectrum introduced in [11] and [30] become stable under commuting Riesz perturbations.

研究の動機と目的

• 擬似B-Weylスペクトルと一般化Drazinスペクトルの等価性を用いて、Browderの定理の新しいスペクトル的特徴付けを提供すること。
• 可換Riesz摂動の下での擬似B-Fredholmおよび擬似B-Weylスペクトルの安定性を調査すること。
• 一般化Kato分解を分析することにより、Banach空間におけるスペクトル理論の結果を拡張すること。
• 既存のFredholmおよびWeylスペクトルに関する結果を、擬似B-Fredholmおよび擬似B-Weylの設定に一般化すること。
• 半正則および本質的に半正則なスペクトルなどの本質的スペクトル集合が、一般化Katoスペクトルと一致する条件を確立すること。

提案手法

• Banach空間の不変分解を用いて、一般化Kato分解（GKD）を用いて、擬似Fredholm、擬似B-Fredholm、および擬似B-Weyl作用素を定義する。
• Fredholm理論およびBrowderの定理を用いて、本質的スペクトル、Weylスペクトル、B-Weylスペクトルなどのスペクトル集合を分析する。
• Riesz作用素および可換摂動の概念を用いて、特に準零作用素およびRiesz摂動の下でのスペクトル安定性を研究する。
• スペクトル半径の公式および作用素の分解を用いて、$T$ が擬似B-Fredholmであり、$S$ が準零作用素部分上で恒等写像を構成する場合に、積 $TS$ が準零作用素であることを証明する。
• Weyl作用素に対して $T_1 + \nu F_1$ の可逆性に関する既知の結果を応用し、任意の $\nu \neq 0$ に対して $T + \nu F$ が可逆となるような摂動 $F$ を構成する。
• 直接和分解およびスペクトル不変性を用いて、$T$ と $F$ の多項式 $q$ に対して、$[T,F]q(T,F)[T,F] = 0$ という重要な恒等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬似B-Weylスペクトルと一般化Drazinスペクトルが一致するのはどのような場合か？
• RQ2 可換Riesz摂動の下で、擬似B-Fredholmおよび擬似B-Weylスペクトルが安定するのはどのような条件下か？
• RQ3 一般化Kato分解は、Banach空間における作用素のスペクトルとどのように関係するか？
• RQ4 半正則スペクトルと一般化Katoスペクトルの関係は何か？
• RQ5 擬似B-Fredholm作用素は、可換作用素による摂動によって、Fredholm作用素または半正則作用素にできるか？

主な発見

• 擬似B-Weylスペクトルが一般化Drazinスペクトルと等しいことは、作用素に対してBrowderの定理が成り立つことと同値である。
• 一般化Katoスペクトル $\sigma_{gK}(T)$ はコンパクトであり、$\sigma(T)$ に含まれる。また、準零作用素に対しては空集合であることもある。
• 右シフト作用素 $T$ が $\liminf_{n\to\infty} (w_1\cdots w_n)^{1/n} = 0$ を満たす単一有界重み付きの場合、すべての本質的スペクトルは閉円板 $\mathbf{D}(0, r(T))$ と一致し、任意の $T$ と可換な準零作用素 $Q$ に対して $\sigma_{gK}(T+Q) = \sigma_{gK}(T)$ が成り立つ。
• もし $T$ が擬似B-Fredholmであれば、ある可換作用素 $S$ が存在し、$T+S$ がFredholmであり、$TS$ が準零作用素である。
• もし $T$ が擬似Fredholmであれば、ある可換作用素 $S$ が存在し、$T+S$ が半正則であり、$TS$ が準零作用素である。
• 擬似B-Weyl作用素 $T$ に対して、任意の $\lambda \neq 0$ に対して $T + \lambda F$ が可逆となるような作用素 $F$ が存在し、任意の $T$ と $F$ の多項式 $q$ に対して $[T,F]q(T,F)[T,F] = 0$ が成り立つ。