[論文レビュー] Spectra originated from semi-B-Fredholm theory and commuting perturbations

Qingping Zeng, Qiaofen Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、半B-フレドホルム理論に基づくさまざまなスペクトルに、べき有限ランク作用素から、作用素の最終的位相的均一降下性の理論を用いて、スペクトルの可換摂動不変性を一般化する。ベルカーニ、アモウシュ、ザリウフが長年にわたり提起した上半BウェイラーおよびBウェイラースペクトルの可換べき零摂動下での不変性に関する未解決問題に対して肯定的な回答を提供し、有限な上昇や降下の仮定を排除することで、先行研究を改善する統一的枠組みを確立する。

ABSTRACT

Burgos, Kaidi, Mbekhta and Oudghiri provided an affirmative answer to a question of Kaashoek and Lay and proved that an operator $F$ is power finite rank if and only if $σ_{dsc}(T+F) =σ_{dsc}(T)$ for every operator $T$ commuting with $F$. Later, several authors extended this result to the essential descent spectrum, the left Drazin spectrum and the left essentially Drazin spectrum. In this paper, using the theory of operator with eventual topological uniform descent and the technique used in Burgos, Kaidi, Mbekhta, and Oudghiri, we generalize this result to various spectra originated from seni-B-Fredholm theory. As immediate consequences, we give affirmative answers to several questions posed by Berkani, Amouch and Zariouh. Besides, we provide a general framework which allows us to derive in a unify way commuting perturbational results of Weyl-Browder type theorems and properties (generalized or not). These commuting perturbational results, in particular, improve many recent results of Berkani and Amouch, Berkani and Zariouh, and Rashid by removing certain extra assumptions.

研究の動機と目的

• 可換べき零摂動下での上半BウェイラーおよびBウェイラースペクトルの不変性に関する未解決問題を解消すること。
• べき有限ランク作用素から半B-フレドホルム理論におけるより広範なスペクトルへ、可換摂動不変性の結果を拡張すること。
• 可換摂動下でのウェイラー＝ブラウダー型定理およびその一般化版を導出するための統一的枠組みを提供すること。
• 最近の文献における余分な仮定（有限上昇や降下）を排除することで、先行研究を改善すること。

提案手法

• 作用素の最終的位相的均一降下性の理論を用いて、摂動下でのスペクトル的性質を分析する。
• Burgos ら (2006) [19] の技術を応用し、べき有限ランク作用素の特徴付けを半B-フレドホルムスペクトルへ拡張する。
• 降下スペクトルおよび上昇スペクトルを基盤的道具として用い、可換べき有限ランク摂動下での不変性を活用する。
• $\sigma_{USBW}(T)$ および $\sigma_{BW}(T)$ のスペクトルを、特に $c_n(T)$ および $c_n'(T)$ の列に注目して、$\mathcal{R}(T^n)$ および $\mathcal{N}(T^n)$ の構造を通じて分析する。
• スペクトル分解および双対性の議論を用いて、スペクトルを一般化ウェイラーおよびブラウダーの定理に関連付ける。
• 可換準零作用素または有限ランク摂動下での $(gw)$, $(gab)$, $(b)$ などの性質の不安定性を示す反例を通じて、枠組みの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換べき零作用素 $N$ に対して、上半Bウェイラースペクトル $\sigma_{USBW}(T)$ は不変であるか？
• RQ2 可換べき零作用素 $N$ に対して、Bウェイラースペクトル $\sigma_{BW}(T)$ は不変であるか？
• RQ3 可換摂動不変性が、べき有限ランク作用素を越えて半B-フレドホルム理論におけるスペクトルへ一般化可能か？
• RQ4 可換摂動下でのウェイラー＝ブラウダー型定理およびその一般化版を導出するための統一的枠組みを構築可能か？
• RQ5 文献 [11, 14, 17, 18, 38] における最近のスペクトル不変性の結果は、余分な仮定（例えば有限上昇や降下）を排除することで改善可能か？

主な発見

• 本稿はベルカーニとアモウシュの質問1.1に対して肯定的解答を提供する：任意の可換するべき零作用素 $N$ に対して $\sigma_{USBW}(T+N) = \sigma_{USBW}(T)$ が成り立つ。
• 本稿はベルカーニとザリウフの質問1.2に対しても肯定的解答を提供する：任意の可換するべき零作用素 $N$ に対して $\sigma_{BW}(T+N) = \sigma_{BW}(T)$ が成り立つ。
• 主結果（定理2.11）は、半B-フレドホルム理論に由来するすべてのスペクトル（特に $\sigma_{USBW}$ および $\sigma_{BW}$）への可換摂動不変性を一般化する。
• 文献 [11, 14, 17, 18, 38] の先行研究を統一的かつ改善し、有限上昇や降下の仮定を排除する。
• 反例（例3.11–3.13）により、$(gw)$, $(gab)$, $(b)$, $(ab)$ などの性質が、可換準零作用素または有限ランク摂動下で不安定であることが示される。
• 本稿は、作用素が有限上昇や降下をもたない場合でも、$\sigma_{USBW}$ および $\sigma_{BW}$ のべき零摂動下での不変性が成立することを確立する。