[論文レビュー] Spectral action beyond the standard model

Thomas Schücker, Sami R. Zouzou|ArXiv.org|Sep 17, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、スペクトラル作用の枠組み内で、重力を組み込んだアスキーコンパクト幾何学としての $\mathbb{C} \oplus M_2(\mathbb{C}) \oplus M_3(\mathbb{C})$ モデルを再評価し、ゲージ群の二重値で偶数の中心拡張が、正確に1つのヒッグスダブルレットと正しいフェルミオン質量をもつ整合性のある標準模型をもたらすことを示している。重力をスペクトラル作用で組み込むことで、初期の軽いヒッグススカラーに関する問題が解消され、ポアンカレ双対性とアノマリー自由性が回復される。

ABSTRACT

We rehabilitate the M_1(C)+ M_2(C)+ M_3(C) model of electro-magnetic, weak and strong forces as an almost commutative geometry in the setting of the spectral action.

研究の動機と目的

• 重力を含むスペクトラル作用の枠組みにおいて、$\mathbb{C} \oplus M_2(\mathbb{C}) \oplus M_3(\mathbb{C})$ モデルを標準模型と重力の統一的枠組みとして再評価すること。
• 重力のないバージョンで生じた物理的でない軽いヒッグススカラーに関する問題を解消すること。
• ゲージ群の二重値で偶数の中心拡張が、正確に1つのヒッグスダブルレットと正しいフェルミオン質量構造を持つ整合性のあるモデルをもたらすことを示すこと。
• 中心拡張を用いて拡張されたモデルがポアンカレ双対性を満たし、ヤン・ミルズおよび混合重力・ヤン・ミルズアノマリーが存在しないことを証明すること。

提案手法

• 左ヒッグスおよび右ヒッグスフェルミオン（反粒子を含む）からヒルベルト空間 $\mathcal{H} = \mathbb{C}^{90}$ を構築し、代数 $\mathcal{A} = \mathbb{C} \oplus M_2(\mathbb{C}) \oplus M_3(\mathbb{C})$ の忠実な表現 $\rho$ を与える。
• 標準模型フェルミオン質量行列 $\mathcal{M}$ を用いて、CKM混合および3世代を含むブロック行列として構成されたディラック作用素 $\mathcal{D}$ を定義する。
• 電荷共役作用素 $J$ およびキラリティ作用素 $\chi$ を用いたスピンの持ち上げにより、標準模型のフェルミオン表現と整合性を保つ。
• ユニタリ群 $U^n(\mathcal{A})$ の二重値で偶数の中心拡張を用い、ランク1の電荷行列 $\tilde{q}$ を導入することで、ゲージ群 $[U(1) \times SU(2) \times SU(3)] / \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$ を得る。
• 拡張されたゲージ群によるディラック作用素のフラクチュエーションにより、ヒッグス場が非可換1形式として生成され、正確に1つのヒッグスダブルレットが再現される。
• リー代数に属するすべての $X$ に対して、トレース条件 $\mathrm{tr}[\tilde{\mathbb{L}}(X)^3 \chi \varepsilon] = 0$ および $\mathrm{tr}[\tilde{\mathbb{L}}(X) \chi \varepsilon] = 0$ を計算することで、アノマリー自由性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重力を含むスペクトラル作用の枠組みにおいて、$\mathbb{C} \oplus M_2(\mathbb{C}) \oplus M_3(\mathbb{C})$ モデルを一貫して埋め込むことができるか？
• RQ2 重力のないバージョンで生じた物理的でない軽いヒッグススカラーの問題は、ゲージ群の二重値で偶数の中心拡張によって解消されるか？
• RQ3 中心拡張を用いて拡張されたモデルは、ポアンカレ双対性とアノマリー自由性を保っているか？
• RQ4 スペクトラル作用は、この拡張された代数的設定において、正しい数のヒッグスダブルレットとフェルミオン質量を再現できるか？
• RQ5 ユニモジュラリティ条件および中心拡張は、ヒッグスおよびゲージボソンスペクトルを決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 代数 $\mathcal{A} = \mathbb{C} \oplus M_2(\mathbb{C}) \oplus M_3(\mathbb{C})$ と二重値で偶数の中心拡張を用いるモデルは、正確に1つのヒッグスダブルレットをもたらし、複数または軽いヒッグススカラーに関する以前の問題が解消される。
• ディラック作用素 $\mathcal{D}$ から導かれるフェルミオン質量行列は、CKM混合および3世代を含む標準模型の構造と一致する。
• ポアンカレ双対性がモデルで成立し、交差形式 $\cap = N \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ が成り立つことから、非可換幾何学と整合性があることが確認される。
• 選択された電荷行列に対して、トレース条件 $\mathrm{tr}[\tilde{\mathbb{L}}(X)^3 \chi \varepsilon] = 0$ および $\mathrm{tr}[\tilde{\mathbb{L}}(X) \chi \varepsilon] = 0$ が満たされることから、ヤン・ミルズおよび混合重力・ヤン・ミルズアノマリーが存在しないことが証明される。
• 拡張されたゲージ群 $\mathbb{L}(U^n(\mathcal{A}))$ は、標準模型のゲージ群 $[U(1) \times SU(2) \times SU(3)] / \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$ と同型であり、正しいゲージ構造が確認される。
• 電荷行列 $\tilde{q} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1/2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ の最小解は、ランク1の持ち上げをもたらし、コンネスの標準模型が正確に再現され、正しいヒッグスおよびフェルミオン内容が得られる。