[論文レビュー] Spectral Analysis of Piezoelectric Tensors

Yannan Chen, Antal Jákli+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 1被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、最後の2つの添え字に関して対称な第三階実テンソル（圧電型テンソル）に対してC固有値およびC固有ベクトルを導入し、それらの存在および正規直交変換のもとでの不変性を証明する。最大のC固有値は最適なランク1近似を特定し、物理的には最大圧電結合を表し、直接的および逆圧電効果において、単位応力下での最大電気変位および単位電場下での最大ひずみを決定する。

ABSTRACT

A third order real tensor is called a piezoelectric-type tensor if it is partially symmetric with respect to its last two indices. The piezoelectric tensor is a piezoelectric-type tensor of dimension three. We introduce C-eigenvalues and C-eigenvectors for piezoelectric-type tensors. Here, "C" names after Curie brothers, who first discovered the piezoelectric effect. We show that C-eigenvalues always exist, they are invariant under orthonormal transformations, and for a piezoelectric-type tensor, the largest C-eigenvalue and its C-eigenvectors form the best rank-one piezoelectric-type approximation of that tensor. This means that for the piezoelectric tensor, its largest C-eigenvalue determines the highest piezoelectric coupling constant. We further show that for the piezoelectric tensor, the largest C-eigenvalue corresponds to the electric displacement vector with the largest $2$-norm in the piezoelectric effect under unit uniaxial stress, and the strain tensor with the largest $2$-norm in the converse piezoelectric effect under unit electric field vector. Thus, C-eigenvalues and C-eigenvectors have concrete physical meanings in piezoelectric effect and converse piezoelectric effect. Finally, we apply C-eigenvalues and associated C-eigenvectors for various piezoelectric crystals with different symmetries.

研究の動機と目的

• 圧電テンソル（最後の2つの添え字に関して対称な第三階テンソル）に対して物理的に意味のあるスペクトル分解を定義すること。
• 正規直交変換のもとでのC固有値の存在および不変性を確立し、座標系に依存しない強度を保証すること。
• 最大のC固有値が圧電テンソルの最適ランク1近似に対応することを示すこと。
• C固有値およびC固有ベクトルを直接的および逆圧電効果における測定可能な物理量と関連付けること。
• 異なる対称性を持つ各種結晶クラスにおいてC固有値およびC固有ベクトルを計算・分析すること。

提案手法

• 圧電型テンソルを、最後の2つの添え字に関して対称な第三階実テンソルとして定義し、次元 $n$ に対して独立な成分は合計 $\frac{1}{2}n^2(n+1)$ 個であると定める。
• C固有値問題を、系 $a_{ijk}x_j y_k = \lambda x_i$, $a_{ijk}x_j y_k = \lambda y_k$, および $\|\mathbf{x}\|_2 = \|\mathbf{y}\|_2 = 1$ を通じて導入し、ここで $\lambda$ はC固有値である。
• 最大C固有値を求めるための最大化問題 $\lambda^* = \max \{ \mathbf{x} \mathcal{A} \mathbf{y} \mathbf{y} : \|\mathbf{x}\|_2 = 1, \|\mathbf{y}\|_2 = 1 \}$ を定式化する。
• 最大C固有値が圧電テンソルのランク1近似を最小化するFrobeniusノルム誤差で与えることを証明する。
• 正規直交変換のもとでのC固有値の不変性を示し、目的関数がこのような変換のもとで不変であることを示す。
• テンソルを $3 \times 6$ 行列に再構成したときの行列の特異値とC固有値を比較し、それらが同等でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧電効果および逆圧電効果における物理的挙動を反映する、圧電テンソルに対して意味のあるスペクトル分解を定義できるか？
• RQ2 最大のC固有値は、Frobeniusノルムの意味で圧電テンソルの最適ランク1近似に対応するか？
• RQ3 最大のC固有値は座標系の正規直交変換に対して不変か？
• RQ4 最大のC固有値は、直接圧電効果における単位一軸応力下での最大電気変位の方向を特定するか？
• RQ5 最大のC固有値は、逆圧電効果における単位電場下での最大ひずみの方向を特定するか？

主な発見

• 圧電テンソルの最大C固有値は、直接圧電効果において単位一軸応力下での $L^2$ ノルムが最大となる電気変位ベクトルに対応する。
• 最大C固有値は、逆圧電効果において単位電場下での $L^2$ ノルムが最大となるひずみテンソルに対応する。
• 成分 $a_{112} = a_{222} = 1$ を持つ圧電テンソル $\mathcal{A}_0$ に対して、最大C固有値は $\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$ であり、その $3 \times 6$ 行列表現の最大特異値 $\sqrt{2} \approx 1.4142$ よりも厳密に小さい。
• C固有値は正規直交変換に対して不変であり、異なる参照フレームにおける物理的一致性を保証する。
• C固有値系は少なくとも1つの非ゼロ解を有し、任意の圧電型テンソルに対して最大C固有値は常に存在する。
• 最大C固有値は、Frobeniusノルムの意味で圧電テンソルの最良ランク1近似を提供し、近似誤差を最小化する。