[論文レビュー] Spectral Analysis of Product Formulas for Quantum Simulation

Changhao Yi, Elizabeth Crosson|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、量子シミュレーションにおける1次Lie-Trotter積分公式から生成される有効ハミルトニアンのスペクトル解析を導入し、初期状態がエネルギー固有状態であるか、狭いエネルギー準位帯に位置する場合、位相推定およびデジタル断熱的シミュレーションにおけるTrotter誤差が顕著に低減されることを示している。固有値および固有状態の摂動を分析することにより、著者らは改善されたスケーリングを示しており、量子位相推定ではTrotterステップサイズを𝒪(ε)から𝒪(ε^{1/2})へ、デジタル断熱的シミュレーションでは𝒪(M^{-1})から𝒪(M^{-2})へと増加可能である。最適なステップサイズは断熱的およびTrotter誤差をバランスさせる。

ABSTRACT

We consider Hamiltonian simulation using the first order Lie-Trotter product formula under the assumption that the initial state has a high overlap with an energy eigenstate, or a collection of eigenstates in a narrow energy band. This assumption is motivated by quantum phase estimation (QPE) and digital adiabatic simulation (DAS). Treating the effective Hamiltonian that generates the Trotterized time evolution using rigorous perturbative methods, we show that the Trotter step size needed to estimate an energy eigenvalue within precision $ε$ using QPE can be improved in scaling from $ε$ to $ε^{1/2}$ for a large class of systems (including any Hamiltonian which can be decomposed as a sum of local terms or commuting layers that each have real-valued matrix elements). For DAS we improve the asymptotic scaling of the Trotter error with the total number of gates $M$ from $\mathcal{O}(M^{-1})$ to $\mathcal{O}(M^{-2})$, and for any fixed circuit depth we calculate an approximately optimal step size that balances the error contributions from Trotterization and the adiabatic approximation. These results partially generalize to diabatic processes, which remain in a narrow energy band separated from the rest of the spectrum by a gap, thereby contributing to the explanation of the observed similarities between the quantum approximate optimization algorithm and diabatic quantum annealing at small system sizes. Our analysis depends on the perturbation of eigenvectors as well as eigenvalues, and on quantifying the error using state fidelity (instead of the matrix norm of the difference of unitaries which is sensitive to an overall global phase).

研究の動機と目的

• 1次Lie-Trotter公式から生成される有効ハミルトニアンの分析を通じて、量子位相推定（QPE）およびデジタル断頭的シミュレーション（DAS）におけるTrotterステップサイズのスケーリングを向上させること。
• 初期状態がエネルギー固有状態に近い場合の状態の忠実度および位相誤差に注目し、演算子ノルムに基づく誤差境界の制限を克服すること。
• 特にHの固有基底において1次摂動項が消える場合に、有効ハミルトニアン𝒯Hのスペクトルに対する摂動理論を活用して、よりタイトな誤差境界を導出すること。
• 固定された回路深さMにおけるDASにおいて、Trotter誤差と断頭的近似誤差をバランスさせるおおよその最適Trotterステップサイズを同定すること。
• スケーリングギャップを有する狭いエネルギー準位帯におけるダイアバティック過程への洞察の一般化を行い、小規模系におけるQAOAとダイアバティック量子アニーリングの類似性を説明すること。

提案手法

• 有効ハミルトニアン𝒯Hは、𝒯H ≡ i log(T(δt))/δt で定義され、T(δt)は1次積分公式近似である。
• 元のハミルトニアンHのスペクトル{Ek, |ψk⟩}と有効ハミルトニアン𝒯Hのスペクトルを比較するため、摂動法が適用され、固有値および固有状態の補正に注目する。
• 誤差は位相誤差θと忠実度誤差fとして定量化され、グローバル位相の感度を避けるためにユニタリ演算子ノルムではなく状態の忠実度が用いられる。
• QPEでは、Hの固有基底において1次摂動項が消える場合、位相誤差が𝒪(Lδt³)にスケーリングするのに対し、従来の𝒪(Lδt²)よりも良好であることが示された。
• DASでは、有効ハミルトニアンに断頭的定理を適用して忠実度誤差をバウンドし、総ゲート数Mに対して𝒪(M^{-2})の改善スケーリングが得られた。
• 全誤差を最小化するため、Trotter誤差と断頭的誤差をバランスさせる最適時間パラメータTcが導出され、Tc = 2MD/(3C1) および εopt = 𝒪(DC1/(Mλ³)) となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期状態がエネルギー固有状態である場合、量子位相推定におけるTrotterステップサイズを𝒪(ε)を超えて改善できるか？
• RQ2 Hの固有基底において1次摂動項が消える場合、位相推定におけるTrotter誤差が高次の減少を示すか？
• RQ3 固定された回路深さMにおけるデジタル断頭的シミュレーションにおいて、Trotter誤差と断頭的近似誤差の最適なトレードオフは何か？
• RQ4 有効ハミルトニアン𝒯Hのスペクトル解析は、状態固有のシミュレーションにおいて、標準的な演算子ノルム推定よりもタイトな誤差境界をどのようにもたらすか？
• RQ5 有効ハミルトニアンのアプローチは、ギャップを有する系におけるダイアバティック過程に一般化可能か？ また、QAOAとダイアバティック量子アニーリングの観察された類似性を説明できるか？

主な発見

• Hの固有基底において1次摂動項が消える場合、量子位相推定における位相誤差は𝒪(Lδt³)にスケーリングする。これは、精度εに対してステップサイズ𝒪(ε^{1/2})が可能であることを示唆する。
• デジタル断頭的シミュレーションにおける全誤差は、ゲート数Mに対して𝒪(M^{-2})にスケーリングされ、従来の𝒪(M^{-1})のスケーリングを改善した。
• 最適時間パラメータTc = 2MD/(3C1) は、断頭的誤差とTrotter誤差をバランスさせ、全誤差バウンドを最小化する。
• 最適誤差εoptは𝒪(DC1/(Mλ³))でバウンドされ、DおよびC1はハミルトニアンのスペクトル特性および有効ハミルトニアンの摂動に関連する定数である。
• 目標誤差εに対して必要な回路深さは𝒪(NDC1/(λ³ε))にスケーリングされ、DASにおけるゲート複雑度が向上したことが示された。
• 本分析により、小規模系におけるQAOAとダイアバティック量子アニーリングの観察された類似性が、両者がギャップに囲まれた狭いエネルギー準位帯に留まっていることによって説明できる。