[論文レビュー] Spectral analysis of semigroups and growth-fragmentation equations

Stéphane Mischler, Justine Scher|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 91被引用数 6

ひとこと要約

本稿はバナッハ空間における$C_0$-半群の一般的スペクトル解析フレームワークを構築し、発散的部とより滑らかな部に分解可能な生成作用素に注目する。成長・断片化方程式（細胞分裂、自己相似的断片化、年齢構造付き人口モデルなど）に対して、ヒルバート空間構造や対称性の仮定を一切不要として、第一固有関数への指数的収束を広範な条件下で確立し、鋭いスペクトルギャップと定量的な収束速度を示す。

ABSTRACT

The aim of this paper is twofold: (1) On the one hand, the paper revisits the spectral analysis of semigroups in a general Banach space setting. It presents some new and more general versions, and provides comprehensible proofs, of classical results such as the spectral mapping theorem, some (quantified) Weyl's Theorems and the Krein-Rutman Theorem. Motivated by evolution PDE applications, the results apply to a wide and natural class of generators which split as a dissipative part plus a more regular part, without assuming any symmetric structure on the operators nor Hilbert structure on the space, and give some growth estimates and spectral gap estimates for the associated semigroup. The approach relies on some factorization and summation arguments reminiscent of the Dyson-Phillips series in the spirit of those used in [87,82,48,81]. (2) On the other hand, we present the semigroup spectral analysis for three important classes of "growth-fragmentation" equations, namely the cell division equation, the self-similar fragmentation equation and the McKendrick-Von Foerster age structured population equation. By showing that these models lie in the class of equations for which our general semigroup analysis theory applies, we prove the exponential rate of convergence of the solutions to the associated remarkable profile for a very large and natural class of fragmentation rates. Our results generalize similar estimates obtained in \cite{MR2114128,MR2536450} for the cell division model with (almost) constant total fragmentation rate and in \cite{MR2832638,MR2821681} for the self-similar fragmentation equation and the cell division equation restricted to smooth and positive fragmentation rate and total fragmentation rate which does not increase more rapidly than quadratically. It also improves the convergence results without rate obtained in \cite{MR2162224,MR2114413} which have been established under similar assumptions to those made in the present work.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間構造や対称性の仮定をせず、バナッハ空間における$C_0$-半群のスペクトル解析の一般的で抽象的な枠組みを構築すること。
• 生成作用素に弱い正則性および発散性仮定を課したもとで、スペクトル写像定理、ウェイルの定理、およびクレイン＝ルトマンの定理を確立すること。
• 三つの主要な成長・断片化方程式（細胞分裂、自己相似的断片化、McKendrick-Von Foerster方程式）に抽象理論を応用すること。
• 第一固有関数または自己相似的プロファイルへの解の指数的収束を示し、明示的かつ定量的なスペクトルギャップ推定値を提供すること。
• 断片化率に制限的仮定（定数性や緩やかな増加性）を課さないことで、先行研究を一般化・改善すること。

提案手法

• 生成作用素$\Lambda = \mathcal{A} + \mathcal{B}$の解析に、ダイソン＝フィリップス級数にインspiredされた因数分解と級数和の手法を用いる。ここで$\mathcal{B}$は発散的で、$\mathcal{A}$は正則である。
• 二つの主要な仮定を導入する：(H1) 繰り返し畳み込み$S_{\mathcal{B}} * (\mathcal{A}S_{\mathcal{B}})^{(*\ell)}$に対する指数的成長制御、および (H2-3) $({\mathcal{A}}S_{\mathcal{B}})^{(*n)}$ が部分空間$Y \subset X$において正則化推定を満たすこと。
• 各モデルにおける仮定(H1)および(H2-3)の検証を通じて、三つの成長・断片化モデルに抽象結果を適用する。ここで、作用素の構造的性質を用いる。
• 固有関数の事前$ L^1 $および重み付き$ L^1 $境界を用いて、その成長と振動を制御し、コンパクト部分区間上で一様な$ W^{1,\infty} $推定値を導出する。
• 複素数の引数分解を用いた正値性と位相制御：$ f = |f|e^{i\theta} $ を定義し、符号制御を用いて非実固有値から矛盾を導出する。
• 実部の下界を、$\langle \Lambda f \overline{\rm sign}f - \Lambda|f|, \phi \rangle$ の実部を推定することで得る。これにより、非ゼロ固有値に対して$\Re e \xi \leq a^{**} < 0$ が示され、$a^{**} > 0$ がモデルパラメータの関数として上界で明示的に評価可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間における生成作用素$\Lambda = \mathcal{A} + \mathcal{B}$に対して、スペクトル写像定理が成り立つ一般的条件は何か？
• RQ2 非自己随伴的・非対称的半群生成作用素に、発散的部と正則的部があるもとで、ウェイルの定理およびスペクトルギャップ推定値を定量的に示すことは可能か？
• RQ3 成長・断片化方程式（細胞分裂、自己相似的断片化、年齢構造付き集団）は、第一固有関数または自己相似的プロファイルへの指数的収束を示すか？
• RQ4 断片化率が滑らかまたは緩やかに増加することを仮定する必要のない先行研究を上回る収束速度を定量的に示すことは可能か？
• RQ5 ヒルバート空間構造や作用素の対称性を仮定せず、スペクトルギャップの存在と指数的減衰を示すことは可能か？

主な発見

• 本稿は、(H1)および(H2-3)の下で、$C_0$-半群の生成作用素$\Lambda = \mathcal{A} + \mathcal{B}$に対して一般的スペクトル写像定理を証明し、対称的またはヒルバート空間設定を超えた古典的結果を拡張する。
• ウェイルの定理の定量的版が確立され、スペクトルギャップの明示的推定値が生成作用素の正則化および発散的性質の関数として与えられる。
• 定数総断片化率を有する細胞分裂方程式に対して、定量的スペクトルギャップが示され、[103, 73]の結果をより広い率クラスへ一般化する。
• 正のカーネルを有する自己相似的断片化方程式に対して、一般の成長条件の下でスペクトルギャップが確立され、[19, 18]の結果を二次的成長制限を排除することで改善する。
• 主固有値に対応する固有関数が、コンパクト部分区間上で厳密に正であり、$W^{1,\infty}$で有界であることが示され、強い正則性が保証される。
• 主な技術的結果として、すべての非ゼロ固有値が半平面$\Re e \xi \leq a^{**} < 0$ に存在し、$a^{**} > 0$ がモデルパラメータの関数として上界で明示的に評価可能であることが示され、計算可能なレートで指数的減衰が保証される。