[論文レビュー] Spectral analysis on standard locally homogeneous spaces

Fanny Kassel, Toshiyuki Kobayashi|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 44被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、標準的局所同型空間 $X_{\Gamma} = \Gamma\backslash G/H$ 上の擬リーマン的ラプラシアンのスペクトル解析と再帰的群の表現理論の間に明示的な対応を確立し、$L_{\mathbb{C}}$-球対称性の下で本質的自己随伴性および無限離散スペクトルの存在を証明する。主な結果は、$X_{\Gamma}$ 上の固有関数が $G$-表現の $L$-制限に関する分岐則と関連することを示している。

ABSTRACT

Let $X=G/H$ be a reductive homogeneous space with $H$ noncompact, endowed with a $G$-invariant pseudo-Riemannian structure. Let $L$ be a reductive subgroup of $G$ acting properly on $X$ and $Γ$ a torsion-free discrete subgroup of $L$. Under the assumption that the complexification $X_{\mathbb C}$ is $L_{\mathbb C}$-spherical, we prove an explicit correspondence between spectral analysis on the standard locally homogeneous space $X_Γ=Γ\backslash X$ and on $Γ\backslash L$ via branching laws for the restriction to $L$ of irreducible representations of $G$. In particular, we prove that the pseudo-Riemannian Laplacian on $X_Γ$ is essentially self-adjoint, and that it admits an infinite point spectrum when $X_Γ$ is compact or $Γ\subset L$ is arithmetic. The proof builds on structural results for invariant differential operators on spherical homogeneous spaces with overgroups.

研究の動機と目的

• 標準的局所同型空間 $X_{\Gamma} = \Gamma\backslash G/H$ と $L_{\mathbb{C}}$-球対称性の下でのリーマン空間 $\Gamma\backslash L$ 間のスペクトル対応を確立すること。
• 擬リーマン的ラプラシアンが $X_{\Gamma}$ 上で本質的自己随伴であることを証明すること。
• $X_{\Gamma}$ がコンパクトであるか、$\Gamma \subset L$ が算術的である場合には、$X_{\Gamma}$ が無限離散スペクトルを持つことを示すこと。
• $X_{\Gamma}$ の離散スペクトルを、$G$-表現の $L$-制限に関する分岐則と関連付けること。
• $L^2$-固有関数の表現論的記述を、引き戻しと分布的解を用いて与えること。

提案手法

• $G$-不変微分作用素 $\mathbb{D}_G(X)$ 及びその $X_\Gamma$ 上への引き戻し $p_\Gamma^*$ を通じた誘導作用素 $D_\Gamma$ の使用。
• $\mathrm{Hom}_{\mathbb{C}\text{-alg}}(Z(\mathfrak{g}_\mathbb{C}), \mathbb{C})$ から $\boldsymbol{\lambda}$ への転送写像を用いて、$X_\Gamma$ と $\Gamma\backslash L$ 上の固有値を関連付ける。
• $X_\mathbb{C}$ の $L_{\mathbb{C}}$-球対称性を活用し、不変微分作用素の構造的制御を確保する。
• ピーター・ウェイ氏の定理およびハリシュ・チャンドラの離散系列を用いて、$\mathrm{Disc}(\Gamma\backslash L)$ と $\mathrm{Disc}(\Gamma\backslash G)$ を記述する。
• 分布的固有関数および $L^2$-固有関数の空間 $\mathcal{F}(X_\Gamma; \mathcal{M}_\lambda)$ を定義し、引き戻しと双対性を用いてそれらを関連付ける。
• $\mathbf{i}_{\tau,\Gamma}$ および $\mathbf{p}_{\tau,\Gamma}$ の写像を用いて、スペクトル型 $\mathbf{I}$ と $\mathbf{II}$ を保存し、$X_\Gamma$ と $\Gamma\backslash L$ を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬リーマン的ラプラシアン $\square_{X_\Gamma}$ が $X_\Gamma = \Gamma\backslash G/H$ 上で本質的自己随伴であるための条件は何か？
• RQ2 $X_\Gamma$ がコンパクトであるか、$\Gamma \subset L$ が算術的である場合に、$X_\Gamma$ が無限離散スペクトルを持つのはどのようなときか？
• RQ3 $X_\Gamma$ の離散スペクトルは、$G$-表現の $L$-制限に関する分岐則を用いてどのように記述できるか？
• RQ4 $X_\Gamma$ 上の $L^2$-固有関数とリーマン空間 $\Gamma\backslash L$ 上のそれらとの間の明示的対応は何か？
• RQ5 スペクトル型 $\mathbf{I}$ と $\mathbf{II}$ が、表現論的転送を通じて $X_\Gamma$ と $\Gamma\backslash L$ 間でどのように関連するか？

主な発見

• $X_{\Gamma}$ 上の擬リーマン的ラプラシアン $\square_{X_\Gamma}$ は $C^\infty_c(X_\Gamma)$ 上で本質的自己随伴である。
• $X_{\Gamma}$ がコンパクトであるか、$\Gamma \subset L$ が算術的である場合には、$X_{\Gamma}$ は無限離散スペクトルを持つ。
• 転送写像 $\boldsymbol{\lambda}$ を通じて、$X_{\Gamma}$ の離散スペクトルと $\Gamma\backslash L$ の離散スペクトルの間に明示的な対応が存在する。
• $L^2(X_\Gamma; \mathcal{M}_\lambda)$ である $L^2$-固有関数の空間が非自明であるための必要十分条件は、$\lambda$ が $L$-制限に離散系列表現を含む $G$-表現に対応することである。
• $X_{\Gamma}$ 上のスペクトル型 $\mathbf{I}$ と $\mathbf{II}$ は、写像 $\mathbf{i}_{\tau,\Gamma}$ および $\mathbf{p}_{\tau,\Gamma}$ を通じて保存され、それらが $\Gamma\backslash L$ 上の対応する型と結びつく。
• $X_{\Gamma}$ の離散スペクトルは、$\Gamma\backslash L$ 上の $L^2$-固有関数の引き戻しを用いて記述され、$\overline{q_\Gamma^* f} \in \bigoplus_{\pi \in i(\nu)} W_\pi$ が $f \in L^2(X_\Gamma, \mathcal{V}_\tau; \mathcal{N}_\nu)_i$ を特徴付ける。