[論文レビュー] Spectral asymptotics for periodic fourth order operators

Andrey Badanin, Evgeny Korotyaev|ArXiv.org|Jul 14, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、実数直線上の周期的4階微分作用素に対するスペクトル漸近挙動を確立し、2枚のリーマン面に解析的であるリャプノフ関数を導入する。2種類のスペクトルギャップ（安定：周期的／反周期的固有値、不安定：共鳴）を同定し、実および非実共鳴の存在を証明する。また、非ゼロで小さいポテンシャルに対して、最低バンドの固有値の重複度が4であり、底が周期的固有値ではなく共鳴であることを示す。

ABSTRACT

We consider the operator ${d^4dt^4}+V$ on the real line with a real periodic potential $V$. The spectrum of this operator is absolutely continuous and consists of intervals separated by gaps. We define a Lyapunov function which is analytic on a two sheeted Riemann surface. On each sheet, the Lyapunov function has the same properties as in the scalar case, but it has branch points, which we call resonances. We prove the existence of real as well as non-real resonances for specific potentials. We determine the asymptotics of the periodic and anti-periodic spectrum and of the resonances at high energy. We show that there exist two type of gaps: 1) stable gaps, where the endpoints are periodic and anti-periodic eigenvalues, 2) unstable (resonance) gaps, where the endpoints are resonances (i.e., real branch points of the Lyapunov function above the bottom of the spectrum). We also show that the periodic and anti-periodic spectrum together determine the spectrum of our operator. Finally, we show that for small potentials $V e 0$ the spectrum in the lowest band has multiplicity 4 and the bottom of the spectrum is a resonance, and not a periodic (or anti-periodic) eigenvalue.

研究の動機と目的

• 作用素 $ \mathcal{L} = \frac{d^4}{dt^4} + V $ が $ L^2(\mathbb{R}) $ 上で1周期的実ポテンシャル $ V \in L^1_0(\mathbb{T}) $ を持つ場合のスペクトル構造を解析すること。
• 2枚のリーマン面上で解析的であるリャプノフ関数を定義・研究し、スカラー系の結果を4階系に一般化すること。
• 高エネルギーにおける周期的および反周期的スペクトルの漸近的挙動を特定すること。
• スペクトルギャップを、周期的／反周期的固有値によって境界づけられる安定型と、共鳴によって境界づけられる不安定型に分類すること。
• 周期的および反周期的スペクトルが $ \mathcal{L} $ の全スペクトルを完全に決定することを示し、非ゼロで小さい $ V $ に対してスペクトルの底の重複度と性質を分析すること。

提案手法

• 4階常微分方程式 $ y^{(4)} + Vy = \lambda y $ の基本解を用いてモノドロミー行列 $ M(\lambda) $ を構成し、初期条件 $ \varphi_j^{(k)}(0,\lambda) = \delta_{jk} $ を満たす。
• リャプノフ関数 $ \Delta^\gamma(\lambda) $ を $ M(\lambda) - \tau I_4 $ の行列式として定義し、2枚のリーマン面上での解析的性質を分析する。
• 乗数スペクトルの対称性を導くために関数方程式 $ D(\tau, \lambda) = \tau^4 D(\tau^{-1}, \lambda) $ を用いる。
• 各バンド内で最小値をとる臨界点 $ z_n $ の近傍で方程式 $ F(z) = \gamma $ に陰関数定理を適用し、$ \rho^\gamma(\lambda) $ の零点を特定する。
• 臨界点 $ z_n $ の近傍における $ F(z) $ の漸近展開を確立し、$ F(z) = F(z_n) + \frac{(z - z_n)^2}{2} (F''(z_n) + \widetilde{F}(z)) $ を示す。$ n \to \infty $ のとき $ F''(z_n) \sim 24z_n^2 $ となる。
• $ r_n^\pm(\gamma) $、すなわち $ \rho^\gamma(\lambda) $ の零点の振る舞いを分析することで、リャプノフ関数の実および非実分岐点（共鳴）の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高エネルギーにおける4階作用素 $ \mathcal{L} = \frac{d^4}{dt^4} + V $ の周期的および反周期的固有値の漸近的分布は何か？
• RQ2 作用素 $ \mathcal{L} $ のスペクトルギャップは、どのように安定型（周期的／反周期的固有値によって境界づけられる）と不安定型（共鳴によって境界づけられる）に分解され、その端点はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 この作用素のリャプノフ関数が非実分岐点（共鳴）を持つことは可能か？その条件は何か？
• RQ4 非ゼロで小さい $ V $ に対して、最低バンドにおけるスペクトルの重複度は何か？また、スペクトルの底は周期的固有値か反周期的固有値か？
• RQ5 周期的および反周期的スペクトルが、$ \mathcal{L} $ の全スペクトルをどの程度まで決定づけられるか？

主な発見

• 周期的および反周期的固有値 $ \lambda_{2n}^{\pm}, \lambda_{2n-1}^{\pm} $ は、$ n \to \infty $ のとき $ \lambda_{2n}^{\pm} \sim (2\pi n)^4 $ という漸近的関係を満たし、$ O(e^{-\pi n}) $ 項を含む高次の補正が存在する。
• リャプノフ関数 $ \Delta^\gamma(\lambda) $ は、実および非実の分岐点（共鳴）を持つ。これは、$ \nu = \gamma - \gamma_n $ が小さいとき、$ \gamma_n = F(z_n) $ の近傍に複素零点 $ r_n^\pm(\gamma) $ が存在することによって示される。
• 非ゼロで小さい $ V $ に対して、スペクトルの底の重複度は4であり、底は周期的固有値でも反周期的固有値でもなく、共鳴（リャプノフ関数の実分岐点）である。
• 共鳴位置の漸近的展開は $ r_n^\pm(\gamma) = z_n^4 \pm 4z_n^3 \left( \frac{2\nu}{F''(z_n)} \right)^{1/2} + O(\nu^{3/2}) $ であり、$ n \to \infty $ のとき $ F''(z_n) \sim 24z_n^2 $ となる。
• スペクトルギャップは、周期的／反周期的固有値によって境界づけられる安定型と、共鳴によって境界づけられる不安定型に分類され、特定のポテンシャルに対して両者が共存する。
• 全スペクトル $ \sigma(\mathcal{L}) $ は、周期的および反周期的スペクトルの和集合によって完全に決定づけられ、2つの集合がすべてのスペクトル成分をカバーする。