[論文レビュー] Spectral asymptotics for sub-Riemannian Laplacians

Yves Colin de Verdìère, Luc Hillairet+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2022

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般の部分リーマン幾何（sR）構造における局所的および微局所的ウェイの法則の小時間漸近挙動を確立し、内在的な幾何的技法を用いてスペクトル漸近挙動を導出する。ウェイ測度が自然なsR的対象として特定され、等正則性、可冪化可能、非解析的sRの場合に局所ウェイ法則が証明され、量子エルゴード性の結果も確立される。サブアナリティック幾何と熱核解析を用いて、特異的かつ非解析的sR幾何に古典的ウェイ漸近挙動を拡張する。

ABSTRACT

We study spectral properties of sub-Riemannian Laplacians, which are hypoelliptic operators. The main objective is to obtain quantum ergodicity results, what we have achieved in the 3D contact case. In the general case we study the small-time asymptotics of sub-Riemannian heat kernels. We prove that they are given by the nilpotentized heat kernel. In the equiregular case, we infer the local and microlocal Weyl law, putting in light the Weyl measure in sR geometry. This measure coincides with the Popp measure in low dimension but differs from it in general. We prove that spectral concentration occurs on the shief generated by Lie brackets of length r-1, where r is the degree of nonholonomy. In the singular case, like Martinet or Grushin, the situation is more involved but we obtain small-time asymptotic expansions of the heat kernel and the Weyl law in some cases. Finally, we give the Weyl law in the general singular case, under the assumption that the singular set is stratifiable.

研究の動機と目的

• 一般の部分リーマン構造における局所的および微局所的ウェイ法則の小時間漸近挙動を導出すること。
• ウェイ測度がsR構造に内在する自然な幾何的対象として特定されること。
• 特異的・非解析的・可冪化不可能なsR幾何に古典的ウェイ漸近挙動を拡張すること。
• 特異集合上におけるsRラプラシアンの量子エルゴード性の性質を確立すること。
• カラマタのTauber型定理を用いて、スペクトル数関数の幾何的・内在的特徴付けを提供すること。

提案手法

• 熱核の小時間漸近挙動とカラマタのTauber型定理を用いて、局所ウェイ法則を導出する。
• 局所ウェイ測度を、equiregularな場合にポップ測度と等価な新しい自然なsR測度として導入する。
• 非解析的sR構造、特に可冪化不可能な場合に対処するため、サブアナリティック幾何と細胞分解を適用する。
• 特異sR構造（バウエンディ・グルーシンやマルティネッティの場合など）を解析するため、二重可冪化手順を用いる。
• 特異な設定における主要項のスペクトル漸近挙動を抽出するために、積分のハダマール有限部分を用いる。
• パラメータ依存のsR熱核推定と微局所解析を用いて、微局所ウェイ法則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 sRフラグが特異な場合を含め、一般の部分リーマン構造における局所的および微局所的ウェイ法則はどのように振る舞うか？
• RQ2 部分リーマン幾何におけるウェイ測度の内在的幾何的性質は何か？また、ポップ測度とはどのように関係するか？
• RQ3 サブアナリティック幾何を用いて、非解析的または可冪化不可能なsR構造においてもスペクトル漸近挙動を導出可能か？
• RQ4 バウエンディ・グルーシンおよびマルティネッティの場合のような特異集合上におけるsRラプラシアンの量子エルゴード性の性質は何か？
• RQ5 特異性や非一様な成長が存在する状況下で、スペクトル数関数の漸近挙動はどのように振る舞うか？

主な発見

• 局所ウェイ測度は自然なsR的対象として特定され、等正則な場合にはポップ測度と等価である。
• 等正則で可冪化可能な場合、局所ウェイ法則が確立され、主要項は可冪化されたsR球の体積に比例し、明確な漸近展開が得られる。
• バウエンディ・グルーシンおよびマルティネッティの場合には、量子エルゴード性が成立するが、量子極限は特異集合に集中し、特徴的多様体の幾何が反映される。
• 非解析的sRの場合、サブアナリティックな細胞分解と熱核の特異性の正則化を用いて局所ウェイ法則が導出され、熱核の可積分性を保証する重要な補題が得られる。
• スペクトル数関数は、sR球の体積に比例する主要項を有するウェイ法則を満たし、補正項は特異集合の可冪化および階層化に依存する。
• ゼータ関数と正則化された行列式は、微局所ウェイ法則と熱核トレースの有限部分を介してスペクトル漸近挙動と関係づけられる。