[論文レビュー] Spectral clustering of Markov chain transition matrices with complex eigenvalues

Anna-Simone Frank, Alexander Sikorski+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2022

Bayesian Methods and Mixture Models被引用数 4

ひとこと要約

この論文では、複素固有値をもつマルコフ連鎖にまでPCCA+を拡張するcPCCA+というスペクトラルクラスタリング手法を紹介する。複素共役固有ベクトルを実部と虚部に分解することで、非可逆確率過程（例えば円形連鎖や遺伝子調節ネットワークなど）の効率的かつ高精度な粗粒度化を可能にする。GenPCCAと同等の精度を達成するが、計算コストの高いシュール分解を回避することで、MATLAB上での実行時間が著しく短縮される。

ABSTRACT

The Robust Perron Cluster Analysis (PCCA+) has become a popular spectral clustering algorithm for coarse-graining transition matrices of nearly decomposable Markov chains with transition states. Originally developed for reversible Markov chains, the algorithm only worked for transition matrices with real eigenvalues. In this paper, we therefore extend the theoretical framework of PCCA+ to Markov chains with a complex eigen-decomposition. We show that by replacing a complex conjugate pair of eigenvectors by their real and imaginary components, a real representation of the same subspace is obtained, which is suitable for the cluster analysis. We show that our approach leads to the same results as the generalized PCCA+ (GenPCCA), which replaces the complex eigen-decomposition by a conceptually more difficult real Schur decomposition. We apply the method on non-reversible Markov chains, including circular chains,and demonstrate its efficiency compared to GenPCCA. The experiments are performed in the Matlab programming language and codes are provided.

研究の動機と目的

• PCCA+の適用範囲を実固有値をもつ可逆マルコフ連鎖に限らず、複素固有値をもつ非可逆連鎖へ拡張すること。
• MATLAB上でのGenPCCAの計算非効率性（特に直接的なシュール分解とソートルーチンの使用）を是正すること。
• 複素固有値分解された遷移行列のスペクトラルクラスタリングに対して、理論的に妥当かつ計算的に効率的なGenPCCAの代替手法を提供すること。
• 実世界の例（円形遷移行列や確率的遺伝子調節ネットワークなど）における手法の有効性を実証すること。

提案手法

• 複素共役固有ベクトルの対を、実部と虚部に分解して、クラスタリングに適した実数部分空間を構築する。
• 標準的なPCCA+クラスタリングフレームワークを実数値部分空間に適用し、メタ安定状態同定に必要な不変部分空間条件を保持する。
• 遷移行列Pの固有値分解を用いて、主な固有値および固有ベクトル（複素共役対を含む）を抽出する。
• 得られた粗粒度化された遷移行列P_cが、メタ状態間の遅い遷移とメタ状態内での速い遷移を満たすように保証する。
• MATLABでアルゴリズムを実装し、シュール分解とソートルーチンを用いたGenPCCAと実行時間の比較を行う。
• 合成された円形連鎖および確率的遺伝子調節ネットワークモデルを用いて手法を検証し、実行時間と精度を測定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素固有値をもつマルコフ連鎖に対して、固有空間の実数表現を用いてPCCA+を拡張できるか？
• RQ2 複素固有ベクトルの実部と虚部に分離して形成される実部分空間は、スペクトラルクラスタリングに必要な不変部分空間条件を保持するか？
• RQ3 状態空間のサイズが増加するに従って、cPCCA+とGenPCCAの計算性能はどのように比較されるか？
• RQ4 cPCCA+は、円形連鎖や遺伝子調節ネットワークのような非可逆系において、メタ安定状態を正確に同定できるか？

主な発見

• cPCCA+は、複素固有ベクトルを実数成分に変換することで、複素固有値をもつ非可逆マルコフ連鎖へのPCCA+の拡張に成功し、精度を損なわずに行える。
• 複素固有ベクトルの実部と虚部を用いることで、不変部分空間条件が保持され、妥当なクラスタ割り当てが保証される。
• cPCCA+は、円形遷移行列および遺伝子調節ネットワークモデルの両方において、GenPCCAと同等のクラスタリング精度を達成する。
• cPCCA+は、特に大きな状態空間に対して、GenPCCAよりも著しく高速な実行時間を示す。これは、直接的なシュール分解とソート処理を回避したためである。
• 遺伝子調節ネットワークの例では、状態空間サイズの増加に伴い、cPCCA+とGenPCCAの実行時間差が二次関数的に増大し、cPCCA+が一貫して優れている。
• 行列要素の微小な摂動に対しても、手法は頑健である。これは、このような行列は通常固有値分解を許容するため、実用的に有効なアプローチであるとされる。