[論文レビュー] Spectral Continuity for Aperiodic Quantum Systems II. Periodic Approximations in 1D

Siegfried Beckus, Jean Bellissard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 53被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、動的系上のハウスドルフ位相を用いて、スペクトルが収束する周期的近似を許容する1次元非周期的量子系の完全な分類を確立する。局所的パターン位相とGAPグラフを用いて、FibonacciやGolay-Rudin-Shapiro系列といった原始的置換系の明示的構成がなされ、スペクトルの連続性と構造的欠陥、分岐頂点との関連が示される。

ABSTRACT

The existence and construction of periodic approximations with convergent spectra is crucial in solid state physics for the spectral study of corresponding Schrödinger operators. In a forthcoming work [9] this task was boiled down to the existence and construction of periodic approximations of the underlying dynamical systems in the Hausdorff topology. As a result the one-dimensional systems admitting such approximations are completely classified in the present work. In addition explicit constructions are provided for dynamical systems defined by primitive substitutions covering all studied examples such as the Fibonacci sequence or the Golay-Rudin-Shapiro sequence. One main tool is the description of the Hausdorff topology by the local pattern topology on the dictionaries as well as the GAP-graphs describing the local structure. The connection of branching vertices in the GAP-graphs and defects is discussed.

研究の動機と目的

• 周期的近似が収束スペクトルをもつ1次元非周期的量子系を分類すること。
• 原始的置換系のためのそのような近似の明示的構成を提供すること。
• スペクトル連続性と力学系の構造を結びつける位相的枠組みを確立すること。
• GAPグラフの分岐頂点を、非周期的系列における構造的欠陥に関連付けること。
• FibonacciやGolay-Rudin-Shapiro系列といった既存の例を、共通の理論的枠組みに統合すること。

提案手法

• スペクトル収束の基礎として、力学系の空間上のハウスドルフ位相を用いる。
• 非周期的系列の構造を記述するために、辞書上の局所的パターン位相を用いる。
• GAPグラフを構築し、系内のパターンの局所的配置と接続性を表現する。
• GAPグラフ内の分岐頂点を分析して、スペクトル挙動に影響を与える構造的欠陥を同定する。
• 位相的近似を通じてスペクトル収束を保証するように、原始的置換系にこの枠組みを適用する。
• 力学系における位相的収束とシュレーディンガー作用素におけるスペクトル収束との対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの1次元非周期的力学系が、収束スペクトルをもつ周期的近似を許容するか？
• RQ2 力学系上のハウスドルフ位相は、シュレーディンガー作用素におけるスペクトル連続性を保証するためにどのように用いられるか？
• RQ3 GAPグラフおよびその分岐頂点は、非周期的系列における欠陥を特徴付ける役割を果たすか？
• RQ4 辞書上の局所的パターン位相は、周期的近似の構築をどのように支援するか？
• RQ5 FibonacciやGolay-Rudin-Shapiroといった既知のすべての原始的置換系を、スペクトル収束を保つように体系的に近似できるか？

主な発見

• 周期的近似が収束スペクトルをもつ1次元非周期的量子系について、完全な分類が提示された。
• FibonacciやGolay-Rudin-Shapiro系列を含む、すべての原始的置換系について、明示的構成が達成された。
• 1次元設定において、力学系上のハウスドルフ位相がスペクトル収束の十分かつ必要条件であることが示された。
• GAPグラフ内の分岐頂点が、スペクトル的性質に影響を与える構造的欠陥の指標であることが同定された。
• 辞書上の局所的パターン位相により、近似プロセスの体系的記述が可能になった。
• 系の力学における位相的収束とスペクトル収束との間の関係が、厳密に確立された。