[論文レビュー] Spectral criteria for solutions of evolution equations and comments on reduced spectra

Bolis Basit, G Hans|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2010

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有界可測関数 $\phi \in L^\infty(J, \mathbb{X})$ と関数族 $\mathcal{F} \subset L^1_{\text{loc}}(J, \mathbb{X})$ に対する減少スペクトル $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ の概念を再考し、$\phi$ と $\mathcal{F}$ が有界一様連続関数空間に属する場合を除き、Carleman スペクトルによるその再構成が不可能であることを証明する。また、微分方程式 $\frac{du}{dt} = Au(t) + \phi(t)$ の有界な弱解に対してスペクトル基準を確立し、解 $u(t)$ がほとんど自己同型であるための必要十分条件として、$\phi$ の減少スペクトルが空集合であること、すなわち $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ であることを示す。

ABSTRACT

We revisit the notion of reduced spectra $sp_{\Cal {F}} (ϕ)$ for bounded measurable functions $ϕ\in L^{\infty} (J,\Bbb{X})$, ${\Cal {F}}\subset L^1_{loc}(J,\Bbb{X})$. We show that it can not be obtained via Carleman spectra unless $ϕ\in BUC(J,\Bbb{X})$ and ${\Cal {F}} \subset BUC(J,\Bbb{X})$. In section 3, we give two examples which seem to be of independent interest for spectral theory. In section 4, we prove a spectral criteria for bounded mild solutions of evolution equation (*) $\frac{d u(t)}{dt}= A u(t) + ϕ(t) $, $u(0)=x\in \Bbb{X}$, $t\in {J}$, where $A$ is a closed linear operator on $\Bbb{X}$ and $ϕ\in L^{\infty} ({J}, \Bbb{X})$ where $ {J} \in\{ _+, \}$.

研究の動機と目的

• 一般の $\phi \in L^\infty(J, \mathbb{X})$ に対する減少スペクトル $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ が Carleman スペクトルによってどのように表現可能か、その限界を明確化すること。
• 進化的方程式の文脈において、減少スペクトルがスペクトル論によってどのように特徴づけられるかの条件を調査すること。
• $\frac{du}{dt} = Au(t) + \phi(t)$ の有界な弱解の存在および正則性（特にほとんど自己同型性）に関するスペクトル基準を確立すること。
• 関数族の構造とその不変性に関するスペクトル理論の観点から、独立した価値を持つ二つの例を提示すること。

提案手法

• 著者たちは、$L^1$ 関数との畳み込みとアニュレーター条件を用いて、減少スペクトル $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ を定義する：$\lambda \in \mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ となるのは、すべての $f \in L^1(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ に対して $\Phi * f|_J \in \mathcal{F}$ ならば $\hat{f}(\lambda) = 0$ となるときである。
• 翻訳不変性、一様閉性、BUC 不変性を満たす関数族 $\mathcal{F}$ の構造を、$\mathcal{F} \subset \mathrm{MF}(J, \mathbb{X})$ や $\Delta$-条件などの性質を用いて分析する。
• 弱解のスペクトル基準は、$\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ が解 $u(t)$ のほとんど自己同型性 $u \in \mathrm{VAA}(\mathbb{X})$ を意味することを根拠に導出される。
• 調和解析の道具を用い、フーリエ変換 $\hat{f}(\lambda) = \int_{-\infty}^\infty e^{-i\lambda t} f(t) dt$ や平均化作用素 $M_h \psi(t) = \frac{1}{h} \int_0^h \psi(t+s) ds$ を用いて、スペクトル不変性を分析する。
• 証明は、$\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ であることと $\phi \in \mathrm{MF}(J, \mathbb{X})$ であることの同値性に依拠しており、これは $\phi$ が平均的エルゴード平均の閉包に属することを意味する。
• 線形有界作用素 $B \in \mathcal{L}(\mathbb{X})$ による $\mathcal{F}$ の不変性と $\mathcal{F}$ の正値性を用いて、スペクトルの包含関係や不変性の性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界可測関数 $\phi \in L^\infty(J, \mathbb{X})$ に対して、$\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ が Carleman スペクトルによって表現可能となる条件は何か？
• RQ2 進化的方程式 $\frac{du}{dt} = Au(t) + \phi(t)$ の弱解 $u(t)$ がほとんど自己同型であることは、$\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ と同値となるのはいつか？
• RQ3 関数族 $\mathcal{F} \subset L^1_{\text{loc}}(J, \mathbb{X})$ に対して、$\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ が $\mathbb{R}$ 上でwell-defined かつ閉じているための必要十分条件は何か？
• RQ4 翻訳不変性、一様閉性、BUC 不変性などの $\mathcal{F}$ の不変性特性が、$\phi$ のスペクトル的性質に与える影響は何か？
• RQ5 有界弱解のスペクトル基準は、$\mathrm{VAA}(\mathbb{X})$ を超えて、$\mathrm{AP}(\mathbb{X})$ や $C_0(J, \mathbb{X})$ などの他の関数族へ拡張可能か？

主な発見

• 有界一様連続関数空間 $\mathrm{BUC}(J, \mathbb{X})$ に $\phi$ と $\mathcal{F}$ が属する場合を除き、$\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ は Carleman スペクトルから回復できない。これは、この文脈における Carleman 法の根本的な限界を示している。
• 有界可測関数 $\phi \in L^\infty(J, \mathbb{X})$ に対して、$\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ であることと $\phi \in \mathrm{MF}(J, \mathbb{X})$ であることとは同値であり、スペクトルの消滅と平均的エルゴード性との間の重要な関係を確立する。
• $\mathcal{F}$ が $\mathrm{BC}(J, \mathbb{X})$ の閉で正値不変な線形部分空間であり、$\phi \in \mathcal{F}$ かつ $\phi'$ が一様連続であるとき、$\phi' \in \mathcal{F}$ となる。これは微分作用素に対する強い不変性を示している。
• 微分方程式 $\frac{du}{dt} = Au(t) + \phi(t)$ の有界な弱解に対して、スペクトル基準は $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ であることと、解 $u(t)$ がほとんど自己同型であること（すなわち $u \in \mathrm{VAA}(\mathbb{X})$ であること）が同値であることである。この同値性は、$\mathcal{F}$ が $\Delta$-条件を満たし、一様閉であるという仮定のもとで成り立つ。
• 著者たちは、独立した価値を持つ二つの例を構成した。一つは、$\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ であっても $\phi \in \mathrm{MF}$ でない場合があること（$\mathcal{F} \subset \mathrm{MF}$ でない限り）を示し、もう一つは Carleman 法によるスペクトル回復の失敗を示している。
• $\mathcal{F} \subset \mathrm{MF}(J, \mathbb{X})$ ならば、すべての $\phi \in L^\infty(J, \mathbb{X})$ に対して $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ となるが、逆は追加の正則性がなければ成り立たない。反例として $\phi = g$, $\mathcal{F} = g \cdot \mathrm{AP}(\mathbb{C})$ が提示されている。