[論文レビュー] Spectral Curves and Whitham Equations in Isomonodromic Problems of Schlesinger Type

Kanehisa Takasaki|ArXiv.org|Apr 8, 1997

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、スペクトル曲線とホイタム力学を介して、シュレスラーザー型の等モノドロミー的変形と有限ギャップ可積分系との間に深い関係を確立する。小さなパラメータεを導入し、ε → 0の極限を取ることで、スペクトル曲線の遅い変形を記述する調制方程式を導出し、一般解がセイバーグ＝ウィッテン型の逆周期写像によって記述されることを示し、N=2超対称ゲージ理論におけるものと類似したプレポテンシャルを構成する。

ABSTRACT

It has been known since the beginning of this century that isomonodromic problems --- typically the Painlevé transcendents --- in a suitable asymptotic region look like a kind of ``modulation'' of isospectral problem. This connection between isomonodromic and isospectral problems is reconsidered here in the light of recent studies related to the Seiberg-Witten solutions of $N = 2$ supersymmetric gauge theories. A general machinary is illustrated in a typical isomonodromic problem, namely the Schlesinger equation, which is reformulated to include a small parameter $ε$. In the small-$ε$ limit, solutions of this isomonodromic problem are expected to behave as a slowly modulated finite-gap solution of an isospectral problem. The modulation is caused by slow deformations of the spectral curve of the finite-gap solution. A modulation equation of this slow dynamics is derived by a heuristic method. An inverse period map of Seiberg-Witten type turns out to give general solutions of this modulation equation. This construction of general solution also reveals the existence of deformations of Seiberg-Witten type on the same moduli space of spectral curves. A prepotential is also constructed in the same way as the prepotential of the Seiberg-Witten theory.

研究の動機と目的

• 小さなパラメータεをシュレスラーザー方程式に組み込み、そのεが小さいときの漸近的挙動を調べること。
• 等モノドロミー的問題と等スペクトル的有限ギャップ解との間の関係を、スペクトル曲線の変形を通して明確化すること。
• ε → 0の極限におけるスペクトル曲線の遅いダイナミクスを記述する調制方程式を導出すること。
• セイバーグ＝ウィッテン理論にインspiredされた逆周期写像を用いて、調制方程式の一般解を構成すること。
• スペクトル曲線のモジュライ空間上に、N=2超対称ゲージ理論におけるものと類似したプレポテンシャルを定義すること。

提案手法

• シュレスラーザー方程式に小さなパラメータεを導入し、ε → 0の極限におけるWKB型の漸近解析を可能にする。
• 関連する有限ギャップ系のスペクトル曲線を、遅い調制を支配する主要な幾何的対象として特定する。
• 等モノドロミー的変形理論に基づくヒューリスティックな手法を用いて、スペクトル曲線の調制方程式を導出する。
• セイバーグ＝ウィッテン型の逆周期写像を適用し、調制方程式の一般解を生成する。
• セイバーグ＝ウィッテン理論と同一の幾何的枠組みを用いて、スペクトル曲線のモジュライ空間上にプレポテンシャルを構成する。
• 同じモジュライ空間上に、既知の解構造を拡張する追加のセイバーグ＝ウィッテン型変形の存在を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレスラーザー方程式の小さなεにおける極限は、等スペクトル的問題の有限ギャップ解とどのように関係するか？
• RQ2 等モノドロミー的系におけるスペクトル曲線の遅い変形を記述する調制方程式の形は何か？
• RQ3 セイバーグ＝ウィッテン型の逆周期写像を用いて、調制方程式の一般解を構成できるか？
• RQ4 このような解を支えるスペクトル曲線のモジュライ空間の幾何的構造は何か？
• RQ5 このモジュライ空間上にプレポテンシャルを定義できるか。また、それはセイバーグ＝ウィッテンのプレポテンシャルとどのように比較できるか？

主な発見

• シュレスラーザー方程式の小さなεにおける極限は、有限ギャップ解の調制をもたらし、そのダイナミクスはスペクトル曲線の遅い変形によって支配される。
• ヒューリスティックな手法により、スペクトル曲線の調制方程式が導出され、系の遅い進化を記述する。
• セイバーグ＝ウィッテン理論におけるものと類似した逆周期写像を用いて、調制方程式の一般解が構成される。
• スペクトル曲線のモジュライ空間には、標準的なものに加え、追加のセイバーグ＝ウィッテン型変形が存在する。
• スペクトル曲線のモジュライ空間上に、N=2ゲージ理論におけるセイバーグ＝ウィッテンのプレポテンシャルと類似した構造を持つプレポテンシャルが明示的に構成される。
• この枠組みにより、スペクトル曲線の幾何とホイタム力学を介して、等モノドロミー的問題と有限ギャップ可積分系との間の明確な対応関係が確立される。