[論文レビュー] Spectral density of the quantum Ising model in two fields: Gaussian and multi-Gaussian approximations

Y. Y. Atas, E. Bogomolny|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2014

Quantum many-body systems参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限だが大きなスピン系における2つの磁場（横磁場および縦磁場）下の量子イジング模型のスペクトル密度を調査する。ガウス型およびマルチガウス型近似を提案し、スペクトル密度の本質的挙動がガウス型に従う一方で、特定の結合定数の極限における強い簡併性がマルチピーク構造を引き起こすことを示す。主な貢献は、ハミルトニアンのパラメータから得られる解析的パラメータを用いたガウス関数の和によるマルチピークスペクトル密度の簡易な解析的近似法であり、数値計算結果と照合して検証されている。

ABSTRACT

Spectral density of quantum Ising model in two fields for large but finite number of spins $N$, is discussed in detail. When all coupling constants are of the same order, spectral densities in the bulk are well approximated by a Gaussian function which is typical behaviour for many-body models with short-range interactions. The main part of the paper is devoted to the investigation of a different characteristic case when spectral densities have peaks related with strong degeneracies of unperturbed states in certain limits of coupling constants. In the strict limit $N o\infty$, peaks overlap and disappear but for values of $N$ accessible in numerical calculations they often strongly influence spectral densities and other quantities as well. A simple method is developed which permits to find general approximation formulae for multi-peak structure of spectral density in good agreement with numerics.

研究の動機と目的

• 有限だが大きなNにおける2磁場下の量子イジング模型のスペクトル密度を理解すること。特に、標準的なガウス近似が簡併性のため破綻する場合に注目する。
• 結合定数の特定の極限における強い簡併性に起因する、ガウススペクトル密度に対する非ユニバーサル補正を同定・特徴付けること。
• ハミルトニアンの完全対角化を必要としない、マルチピークスペクトル密度を近似する簡易な解析的手法を開発すること。
• さまざまな結合定数および系サイズについて、数値計算結果と照合して、提案された近似手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 周期的境界条件下のスピン1/2系を記述する、横磁場および縦磁場を含む量子イジングハミルトニアンを用いる。
• 小さな結合定数の極限（λ ≪ 1）において摂動論を適用し、非摂動状態間の遷移に起因するエネルギー補正を計算する。
• 二項係数などの組合せ関数を用いて、特定のスピン配置（n, m, k）を持つ状態の数を解析的に導出する。
• 1次および2次摂動論を用いて、単一スピンの反転およびスピンペアの反転に起因する寄与を含めた、平均エネルギーシフトΔE_n,k(α,λ)を構築する。
• 非摂動エネルギー準位および遷移数から得られるパラメータ（平均、分散）を有するガウス関数の和として、マルチガウス近似を提案する。
• 有限Nにおける完全対角化で得られる正確なスペクトル密度と照合することで、数値的に手法の妥当性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限だが大きなNにおける2磁場下の量子イジング模型のスペクトル密度は、どのようにユニバーサルなガウス型から逸脱するか？
• RQ2 結合定数を特定の値に調整すると、なぜスペクトル密度に顕著なピークが現れるのか？
• RQ3 ハミルトニアンの完全対角化を必要としない、マルチピークスペクトル密度を近似する簡易な解析的手法を開発可能か？
• RQ4 非摂動スペクトルにおける簡併性は、熱力学的極限および有限Nにおけるスペクトル密度にどのように影響を与えるか？
• RQ5 強い簡併性が存在する状況下でも、摂動補正はスペクトル構造をどれほど正確に記述できるか？

主な発見

• 有限だが大きなNにおいて、すべての結合定数が1次オーダーである場合、量子イジング模型のスペクトル密度のバルク領域は、短距離相互作用を有する多体系におけるユニバーサルな挙動に一致するガウス関数でよく近似される。
• 結合定数の特定の極限において、非摂動スペクトルにおける強い簡併性が、スペクトル密度に顕著なピークを引き起こす。これは、N→∞の極限では消えるが、有限Nでは依然として顕著に観測される。
• スピン配置（n, m, k）を持つ状態の数を、C_{n-1}^{k-1}およびC_{m-1}^{k-1}などの組合せ関数を用いて解析的に導出し、エネルギー準位の数え上げおよび遷移確率の計算に不可欠な要素を特定した。
• 平均エネルギーシフトΔE_n,k(α,λ)はλの2次まで計算され、単一スピン反転およびスピンペア反転に起因する寄与を含んでおり、n_jおよびm_jの配置を含む組合せ和の形で表現される。
• 非摂動エネルギー準位および遷移数から解析的に導出したパラメータを有するガウス関数の和として構築されたマルチガウス近似は、さまざまな結合定数および系サイズにおいて、数値的スペクトル密度と優れた一致を示した。
• 完全対角化を必要とせず、ハミルトニアンの構造から直接スペクトル特徴を効率的に予測可能な手法として、マルチピークスペクトル密度の構造を的確に捉えている。