[論文レビュー] Spectral Discovery of Continuous Symmetries via Generalized Fourier Transforms

Pavan Karjol, Kumar Shubham+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2026

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ひとこと要約

この論文は、スペクトルの疎性を検出し、入力を不変平面に合わせ、共鳴ベースの正則化を用いて潜在生成子を回復しつつ予測マッピングを学習することで、連続的な1パラメータのサブグループ（対称性）を発見する一般化フーリエ変換ベースのフレームワークを提案する。

ABSTRACT

Continuous symmetries are fundamental to many scientific and learning problems, yet they are often unknown a priori. Existing symmetry discovery approaches typically search directly in the space of transformation generators or rely on learned augmentation schemes. We propose a fundamentally different perspective based on spectral structure. We introduce a framework for discovering continuous one-parameter subgroups using the Generalized Fourier Transform (GFT). Our central observation is that invariance to a subgroup induces structured sparsity in the spectral decomposition of a function across irreducible representations. Instead of optimizing over generators, we detect symmetries by identifying this induced sparsity pattern in the spectral domain. We develop symmetry detection procedures on maximal tori, where the GFT reduces to multi-dimensional Fourier analysis through their irreducible representations. Across structured tasks, including the double pendulum and top quark tagging, we demonstrate that spectral sparsity reliably reveals one-parameter symmetries. These results position spectral analysis as a principled and interpretable alternative to generator-based symmetry discovery.

研究の動機と目的

• 未知の活性グループに対して潜在的な連続対称性を自動発見する動機づけ。
• GFTを用いたスペクトルフレームワークで1パラメータのサブグループを識別する。
• 最大トーラスフーリエ特徴と共鳴ベース正則化を用いたアーキテクチャを開発する。
• 合成データと実データのタスクで予測性能と解釈可能な対称性回復を改善する。

提案手法

• 潜在生成子Bを実数の正規直交分解B=Q(⊕k λk J)Qᵀで parameterizeし、Qと{λk}をエンドツーエンドで学習する。
• 学習可能な直交変換Qを適用して invariant plane に合わせ、ブロック zk を2Dで得る。
• 整列した座標上にトーラスフーリエ特徴を構築し、原始周波数方向 m に対して有界格子内の集合 U(x)= {ẑm(x)} を用いる。
• 共鳴正則化子を課し、オフレゾナントなフーリエモードを μ∑m (Cm⟨m,λ⟩)² でペナルティし、スペクトルの疎性を促進する。
• スペクトル特徴と半径 R(x) を予測子 φw に入力して出力へ写像する。
• 潜在対称性パラメータ (Q, λ) を回復するために、標準的な予測損失と共鳴正則化を最小化するよう訓練する。

Figure 1: Symmetry discovery and learning framework. The input is first aligned via a learnable orthogonal transformation $Q\in SO(n)$ and decomposed into two-dimensional blocks, which are converted to polar coordinates to obtain radii and torus angles. Primitive torus Fourier features $U(x)$ , toge

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル（GFT）視点はデータの潜在的な1パラメータサブグループを明らかにできるか。
• RQ2 データから予測マッピングと対応する対称性生成子の両方をどのように学習するか。
• RQ3 入力を不変平面に揃え、共鳴を課すことは対称性の正確な回復と一般化の改善につながるか。
• RQ4 最大トーラスフーリエ特徴は連続回転対称性の把握に有効か。
• RQ5 提案手法は予測と解釈性の点で、拡張ベースの対称性発見アプローチと比較してどうか。

主な発見

方法	テストMSE ↓	不変性誤差 ↓	コサイン類似度 ↑
Spectral Discovery	0.00298 ± 0.00024	0.00070 ± 0.00027	0.9999 ± 0.00001
Augerino	0.01053 ± 0.00040	0.00232 ± 0.00025	0.9233 ± 0.0708

• スペクトル発見は評価タスクにおいて基礎となる回転対称性とほぼ完全に揃う（コサイン類似度 ≈ 1.0）。
• ダブルペントラムタスクでは、スペクトル発見がAugerinoよりもはるかに低いテストMSEと不変性誤差を達成し、コサイン類似度は ≈ 0.9999。
• トップククタグトンでは、スペクトル発見が精度を改善し、ほぼ完全な生成子回復を達成（コサイン類似度 ≈ 0.9999）。
• 共鳴ベース正則化子とトーラスフーリエ特徴により、潜在1パラメータ対称性の解釈可能で安定した回復を実現しつつ、予測性能も競争力を維持する。

Figure 2: Recovered vs. True Rotational Generators. Comparison of the learned (left) and ground-truth (right) generators for (a) the Double Pendulum system (diagonal $\Delta(SO(2))$ generator) and (b) the Top Tagging task. Both learned generators demonstrate near-perfect alignment with the physical