[論文レビュー] Spectral estimates for periodic fourth order operators

Andrey Badanin, Evgeny Korotyaev|ArXiv.org|Aug 5, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、実数直線上の1周期的係数をもつ周期的4階微分作用素 $ H = \frac{d^4}{dt^4} + \frac{d}{dt}p\frac{d}{dt} + q $ のスペクトル性質を分析する。2枚のリーマン面とリャプノフ関数を用いて、周期的・反周期的・共鳴固有値を用いてスペクトルを特徴づけ、高エネルギー漸近挙動、スペクトルの大部分における重複度2、および無限個のギャップが存在する条件や、低エネルギー帯の重複度4をとる条件を証明する。

ABSTRACT

We consider the operator $H={d^4dt^4}+{ddt}p{ddt}+q$ with 1-periodic coefficients on the real line. The spectrum of $H$ is absolutely continuous and consists of intervals separated by gaps. We describe the spectrum of this operator in terms of the Lyapunov function, which is analytic on a two-sheeted Riemann surface. On each sheet the Lyapunov function has the standard properties of the Lyapunov function for the scalar case. We describe the spectrum of $H$ in terms of periodic, antiperiodic eigenvalues, and so-called resonances. We prove that 1) the spectrum of $H$ at high energy has multiplicity two, 2) the asymptotics of the periodic, antiperiodic eigenvalues and of the resonances are determined at high energy, 3) for some specific $p$ the spectrum of $H$ has an infinite number of gaps, 4) the spectrum of $H$ has small spectral band (near the beginner of the spectrum) with multiplicity 4 and its asymptotics are determined as $p o 0, q=0$.

研究の動機と目的

• 1周期的係数をもつ4階周期微分作用素の絶対連続スペクトルを特徴づけること。
• 2枚のリーマン面上のリャプノフ関数を用いて、周期的・反周期的・共鳴固有値の観点からスペクトルを記述すること。
• 固有値の高エネルギー漸近挙動とスペクトル帯の重複度構造を分析すること。
• スペクトルに無限個のギャップをもつ条件を特定すること。

提案手法

• 4階常微分方程式の基本解からモノドロミー行列 $ M(\lambda) $ を構成し、その固有値（倍角）が $ |\tau| = 1 $ というスペクトル条件を決定する。
• リャプノフ関数 $ \Delta_1, \Delta_2 $ を $ \frac{1}{2}(\tau_\nu + \tau_\nu^{-1}) $ として定義し、$ \rho = \frac{T_2 + 1}{2} - T_1^2 $ を用いて定義される2枚のリーマン面上の解析的分枝とする。
• スペクトルは $ \sigma(H) = \{ \lambda \in \mathbb{R} : \Delta_\nu(\lambda) \in [-1,1] \text{ for } \nu = 1,2 \} $ として特定され、重複度は両方の $ \Delta_\nu \in [-1,1] $ となる集合の共通部分で決定される。
• 高エネルギーにおける漸近展開 $ \Delta_1(\lambda) \sim \cosh z $ および $ \Delta_2(\lambda) \sim \cos z $（$ |\lambda| \to \infty $、$ z = \lambda^{1/4} $）を用いて、高エネルギースペクトル挙動を導出する。
• 共鳴は $ \rho $ の零点として定義され、正則性および対称性の性質を用いてその分布と実数性を分析する。
• 基本行列解 $ \mathcal{M}(t,\lambda) $ を構築し、指数的重みをもつ行列系への変換を施し、$ z^{-1} $ における摂動論を用いてモノドロミー行列の漸近展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4階周期作用素 $ H $ のスペクトルは、周期的・反周期的・共鳴固有値の観点からどのように分解されるか？
• RQ2 作用素 $ H $ の周期的・反周期的固有値および共鳴の高エネルギー漸近挙動は何か？
• RQ3 作用素 $ H $ のスペクトルに無限個のギャップをもつ条件は何か？
• RQ4 スペクトル帯の重複度、特に原点付近の低エネルギー帯の重複度は何かによって決定されるか？
• RQ5 $ p \to 0 $ および $ q = 0 $ のとき、スペクトルはどのように振る舞うか。特に、低エネルギー帯の存在と大きさは？

主な発見

• 高エネルギー領域では、$ \Delta_1(\lambda) \sim \cosh z $ および $ \Delta_2(\lambda) \sim \cos z $ の漸近挙動により、$ |\lambda| $ が大きいときには2つのリャプノフ関数のうち片方しか $ [-1,1] $ に含まれないため、$ H $ のスペクトルは重複度2をとることが示された。
• 周期的・反周期的固有値 $ \lambda_{2n}^{\pm}, \lambda_{2n-1}^{\pm} $ は、$ \lambda = \infty $ の近傍における $ \Delta_\nu $ の挙動から、$ n \to \infty $ のとき $ \sim (1+i)^4 \pi^4 n^4 $ という漸近展開をもつことが導かれた。
• 特定の $ p $ に対して、$ \rho $ の実数零点数が $ (-\Gamma, \Gamma) $ 内で無限に増加するため、無限個の共鳴が存在し、結果として無限個のスペクトルギャップが存在する。
• 原点付近で $ p \to 0 $ かつ $ q = 0 $ のとき、スペクトルは重複度4の低エネルギー帯をもち、これは $ s_1 \cap s_2 $ に対応する。その漸近挙動はモノドロミー行列の摂動により決定された。
• 行列 $ \Phi = (I_4 + \Omega W_0/(4z))^{-1}(I_4 + \Omega W_1/(4z)) $ はモノドロミー行列の摂動展開を提供し、$ \phi_{kj}(\lambda) $ の $ z^{-1} $ のべき級数としての漸近公式を導出する。特に $ z = (1+i)\pi n + O(n^{-1}) $ のとき、$ \phi_{01}(\lambda) = (1-i)\xi^2 \widehat{p_n'} + O(\xi^3) $ となる。
• 行列要素 $ \phi_{jj}(\lambda) $ の漸近展開は $ \phi_{jj}(\lambda) = 1 - \frac{\omega_j^3 \widehat{p}_0}{4z} + \frac{\omega_j^2 \widehat{p}_0^2}{32z^2} + O(z^{-3}) $ であり、トレースおよびスペクトル不変量の高エネルギー挙動を決定する。