[論文レビュー] Spectral-free estimation of L\\'evy densities in high-frequency regime

Céline Duval, Ester Mariucci|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Lévy–Khintchine 公式に依存しないスペクトルフリーのパスワイズウェーブレットベース推定量を、高周波設定において Lévy 密度の推定に導入する。有限および無限変動 Lévy プロセスの両方において、Besov 球上での最適非パラメトリックレートを達成し、原点における特異性およびブラウン運動成分の存在に対してもロバストであることを示す。

ABSTRACT

We construct an estimator of the L\\'evy density of a pure jump L\\'evy process, possibly of infinite variation, from the discrete observation of one trajectory at high frequency. The novelty of our procedure is that we directly estimate the L\\'evy density relying on a pathwise strategy, whereas existing procedures rely on spectral techniques. By taking advantage of a compound Poisson approximation, we circumvent the use of spectral techniques and in particular of the L\\'evy--Khintchine formula. A linear wavelet estimator is built and its performance is studied in terms of $L_p$ loss functions, $p\\geq 1$, over Besov balls. We recover classical nonparametric rates for finite variation L\\'evy processes and for a large nonparametric class of symmetric infinite variation L\\'evy processes. We show that the procedure is robust when the estimation set gets close to the critical value 0 and also discuss its robustness to the presence of a Brownian part.

研究の動機と目的

• 高周波離散観測による純ジャンプ Lévy プロセスからの Lévy 密度推定のための非スペクトル的・パスワイズ的手法の開発。
• 特に Lévy–Khintchine 公式への依存に起因するスペクトル的手法の制限を克服し、より広いジャンププロセスのクラスへの応用を可能にする。
• 有限および無限変動 Lévy プロセスの両方において、Besov 球上での $L_p$ 損失の観点から理論的性能保証を確立する。
• 推定領域が原点における臨界特異点に近づく場合およびブラウン運動成分が存在する場合の推定量のロバスト性を保証する。

提案手法

• スペクトル分解の代わりに、Lévy プロセスの複合ポアソン近似を基礎的ツールとして用いる。
• dyadic 区間内のジャンプ回数に基づく線形ウェーブレット推定量を構築し、プロセスのパスワイズ性質を活用する。
• 原点の周囲の局所的領域 $A(\rho)$ に分割し、ウェーブレット係数を用いて密度 $f$ を推定する。
• 波形しきい値処理とモーメントバウンドを用いてバイアスと分散を制御し、$\mathbb{E}[\widehat{\lambda}_{n,\varepsilon}] \approx \lambda_\varepsilon$ であることに基づく。
• 確率的切り捨ておよびサンプリング変動に対処するため、集中不等式および条件付きモーメントバウンド（補題 5 を用いて）を適用する。
• 無限に可除分布の漸近的同値性が複合ポアソン測度と一致すること（[33] の補題 8.8）を用いて、近似戦略の正当化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル的手法、特に Lévy–Khintchine 公式への依存を避けて、Lévy 密度推定が可能か？
• RQ2 高周波サンプリングにおけるパスワイズウェーブレットアプローチを用いた場合、Lévy 密度の $L_p$ 推定で達成可能な非パラメトリックレートは何か？
• RQ3 原点付近（密度が発散する可能性がある）での無限変動 Lévy プロセスに対して、推定量はどのように動作するか？
• RQ4 ブラウン運動成分の存在や推定領域がゼロに近づく場合に、推定量はロバストか？

主な発見

• 提案されたウェーブレットベース推定量は、有限変動 Lévy プロセスにおいて、Besov 球上ですでに知られた非パラメトリックレート $2^{-2Js}$ を達成する。
• 対称的無限変動 Lévy プロセスの広いクラスに対して、推定量は最小最大下界と一致する最適レート $2^{-2Js}$ を達成する。
• 推定ウィンドウ $A(\rho)$ が原点に近づく場合でも推定量はロバストであり、$\varepsilon$-依存ノルムおよびモーメントバウンドにより誤差が制御される。
• ブラウン運動成分の存在に対しても推定量はロバストであり、Lévy トリプレットの摂動下でも $L_p$ リスクの安定性が示された。
• 波形分解解像度 $J$、サンプルサイズ $n$、切り捨てレベル $\varepsilon$ を用いた $L_p$ リスクの理論的バウンドが導出され、$\mathbf{n}(\varepsilon)$ および $\widetilde{\bm{n}}(\varepsilon)$ への明示的依存関係が示された。
• 誤差分解はバイアスとバイアスの成分に分離され、分散項はモーメント不等式および条件付き期待値バウンドにより制御される。