[論文レビュー] Spectral gap properties and asymptotics of stationary measures for affine random walks

Yves Guivarc’h, Émile Le Page|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^d$ 上のアフィン確率ウォークにおけるスペクトルギャップ性質を確立し、ポテンシャルカーネルが漸近的同次性を示し、$V$ 上の唯一の $\lambda$-定常測度が拡大 $v \mapsto tv$ に関して無限遠で同次的であることを証明する。解析は、主要なリャプノフ指数の単純性、一般の再生定理、および $\lambda$-境界における双対性に依拠し、大規模な部分半群条件の下で定常測度の精密な漸近挙動を導く。

ABSTRACT

Let $V=\mathbb R^d$ be the Euclidean $d$-dimensional space, $\mu$ (resp $\lambda$) a probability measure on the linear (resp affine) group $G=G L (V)$ (resp $H= Aff (V))$ and assume that $\mu$ is the projection of $\lambda$ on $G$. We study asymptotic properties of the convolutions $\mu^n *\delta_{v}$ (resp $\lambda^n*\delta_{v})$ if $v\in V$, i.e asymptotics of the random walk on $V$ defined by $\mu$ (resp $\lambda$), if the subsemigroup $T\subset G$ (resp $\Sigma \subset H$) generated by the support of $\mu$ (resp $\lambda$) is ''large''. We show spectral gap properties for the convolution operator defined by $\mu$ on spaces of functions of degree $s\geq 0$ on $V$, which satisfy Holder type conditions. As a consequence of our analysis we get precise asymptotics for the potential kernel $\displaystyle\mathop{\Sigma}_{0}^{\infty} \mu^k * \delta_{v}$, which imply its asymptotic homogeneity. Under natural conditions the $H$-space $V$ is a $\lambda$-boundary ; then we use the above results to show that the unique $\lambda$-stationary measure on $V$ is homogeneous at infinity with respect to dilations $v ightarrow t v (t>0)$. Our proofs are based on the simplicity of the dominant Lyapunov exponent for certain products of Markov-dependant random matrices, on the use of a general renewal theorem, and on the dynamical properties of a conditional $\lambda$-boundary dual to $V$.

研究の動機と目的

• アフィン確率ウォークの $ℝ^d$ 上での畳み込み $\mu^n * \delta_v$ および $\lambda^n * \delta_v$ の漸近的挙動を分析すること。
• 関数の Hölder 型ノルム（次数 $s \geq 0$）に対して、$\mu$ に関連する畳み込み作用素のスペクトルギャップ性質を確立すること。
• ポテンシャルカーネル $\sum_{k=0}^\infty \mu^k * \delta_v$ の精密な漸近挙動を導出し、それが漸近的同次的であることを証明すること。
• $H$-空間 $V$ が自然な条件下で $\lambda$-境界であることを示し、これにより唯一の $\lambda$-定常測度が無限遠で同次的であることを導くこと。
• 双対性および条件付き $\lambda$-境界の力学的性質を用いて、定常測度の大規模構造を特徴づけること。

提案手法

• マコフ連関する確率的行列積の主なリャプノフ指数の単純性を用いて、成長および混合挙動を制御すること。
• 一般の再生定理を応用し、ポテンシャルカーネル $\sum_{k=0}^\infty \mu^k * \delta_v$ の長期的挙動を分析すること。
• 定常測度の漸近的構造を研究するため、$V$ に対して双対となる条件付き $\lambda$-境界を構成すること。
• 関数 $\Sigma \subset H$ が $\lambda$ の台によって生成される部分半群が大きいと仮定し、アフィン群 $H = \mathrm{Aff}(V)$ が $\mathbb{R}^d$ 上に作用する様子を分析すること。
• 次数 $s \geq 0$ の Hölder 型条件を関数空間に導入し、そこでのスペクトルギャップ性質を証明すること。
• スペクトルおよび再生技法を用いて、拡大 $v \mapsto tv$（$t > 0$）に関して定常測度の漸近的同次性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $v \to \infty$ のとき、ポテンシャルカーネル $\sum_{k=0}^\infty \mu^k * \delta_v$ がどのように漸近的同次的であるか、どのような条件下で成立するか。
• RQ2 次数 $s \geq 0$ の Hölder 関数に対して $\mu$ のスペクトルギャップ性質が、アフィン確率ウォークの長期的挙動にどのように影響するか。
• RQ3 アフィン空間 $V$ がいつ $\lambda$-境界であるか。これは唯一の $\lambda$-定常測度の構造にどのような意味を持つのか。
• RQ4 マコフ連関する行列積の主なリャプノフ指数の単純性が、確率ウォークの漸近的解析にどのように寄与するか。
• RQ5 $V$ に対して双対となる条件付き $\lambda$-境界の力学的性質は、定常測度が無限遠でどのように同次的であるかを支配するか。

主な発見

• $v \to \infty$ のとき、ポテンシャルカーネル $\sum_{k=0}^\infty \mu^k * \delta_v$ は漸近的同次的であり、これは拡大に関して一様にスケーリングされることを意味する。
• $s \geq 0$ の Hölder 型条件を満たす関数に対して、$\mu$ によって定義される畳み込み作用素のスペクトルギャップ性質が確立される。
• 自然な条件下で、$V$ 上の唯一の $\lambda$-定常測度は、$t > 0$ に対する拡大 $v \mapsto tv$ に関して無限遠で同次的である。
• $H$-空間 $V$ が $\lambda$-境界であることが示され、これにより定常測度の漸近的同次性が導かれる。
• 一般の再生定理の適用により、ポテンシャルカーネルの精密な漸近的制御が可能となり、スペクトルギャップおよび同次性の結果と結びつけられる。
• 条件付き $\lambda$-境界の双対性および力学的性質は、定常測度の漸近的構造を証明するために不可欠である。