[論文レビュー] Spectral Gaps for Periodic Elliptic Operators with High Contrast: an Overview

Rainer Hempel, Olaf Post|ArXiv.org|Jul 16, 2002

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、高対比係数を有する周期的楕円型作用素におけるスペクトルギャップを調査し、単位格子間の弱い結合が高対比に起因してスペクトルギャップが生じることを示している。二次形式の収束定理および極小-極大原理を用いて、高対比計量を有する多様体上のラプラシアン＝ベルトラミ作用素および周期的集合上の大係数を有する発散型作用素に対して、スペクトルが低伝導度集合上の極限作用素のスペクトルに収束することを証明し、対比が無限大に近づくにつれてスペクトルギャップが生じることを示している。

ABSTRACT

We discuss the band-gap structure and the integrated density of states for periodic elliptic operators in the Hilbert space $L_2(\R^m)$, for $m \ge 2$. We specifically consider situations where high contrast in the coefficients leads to weak coupling between the period cells. Weak coupling of periodic systems frequently produces spectral gaps or spectral concentration. Our examples include Schrödinger operators, elliptic operators in divergence form, Laplace-Beltrami-operators, Schrödinger and Pauli operators with periodic magnetic fields. There are corresponding applications in heat and wave propagation, quantum mechanics, and photonic crystals.

研究の動機と目的

• 周期的楕円型作用素における高対比係数がどのようにスペクトルギャップを生じるかを理解すること。
• 単位格子間の弱い結合がスペクトル濃縮またはギャップを誘発する条件を確立すること。
• シュレーディンガー作用素および磁気作用素におけるスペクトルギャップ形成の結果を、発散型作用素およびラプラシアン＝ベルトラミ作用素へと拡張すること。
• 高対比漸近的条件下でのスペクトルバンドおよび状態密度の積分の収束を分析すること。
• 光結晶などの応用を含め、多様な楕円型作用素におけるスペクトルギャップ形成を統一的枠組みで提示すること。

提案手法

• 正規化作用素の自己共役作用素としての強い解像度収束および二次形式の単調収束を用いて、スペクトル極限を分析する。
• 極小-極大原理を用いて、全領域上での作用素の固有値と低伝導度集合 M₀ 上での固有値を比較する。
• ディリクレ＝ノイマンのブレケット法を用い、周期的細胞上でのノイマンおよびディリクレ固有値を用いてスペクトルバンドを包含する。
• 制限および拡張作用素を用いて、Q および M₀ 上でのレイノルズ商を比較し、特にラプラシアン＝ベルトラミ作用素に対して有効である。
• ヒルベルト空間ノルムおよび二次形式が対比パラメータ λ に依存する様子を分析し、特に共形計量の場合に注目する。
• フロケ理論を用いて、基本細胞 Q 上の周期的境界値問題に問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的楕円型作用素の係数における高対比が、単位格子間の弱い結合に起因してスペクトルギャップを生じるか？
• RQ2 λ→∞ のとき、発散型作用素 −∇·(1+λχΩ)∇ のスペクトルはどのように振る舞うか？
• RQ3 高対比共形因子を有するラプラシアン＝ベルトラミ作用素の極限スペクトル挙動は何か？
• RQ4 1次元問題に還元せずに、多次元設定においてスペクトルギャップを厳密に確立できるか？
• RQ5 例えば、細いシリンダーで接続されたコンact多様体からなる周期的多様体といった幾何的構成は、どの程度スペクトルギャップを生じるか？

主な発見

• m≥3 の場合、高対比共形因子を有するラプラシアン＝ベルトラミ作用素のスペクトルは、λ→∞ のとき低伝導度集合 M 上のノイマンラプラシアンのスペクトルに収束し、これによりスペクトルギャップが生じる。
• m≥3 の場合、M₀ 上のノイマン固有値 E_k^N は、E_k^N(λ) の近似下界および E_k^D(λ) の上界として機能し、スペクトルギャップの推定に有効である。
• 発散型作用素 −∇·(1+λχΩ)∇ の場合、λ→∞ のとき弱い結合に起因してスペクトルギャップが生じるが、ヒルベルト空間ノルムにおける単調性がなくても成立する。
• m=2 の場合、ノルムにおける単調性が欠如しているが、変数分離による直接計算によりスペクトルギャップを依然として証明可能である。
• 例えば、コンパクト多様体を細いシリンダーで接続した周期的多様体の幾何的構成は、シリンダーが十分に細い場合にスペクトルギャップを生じる。
• 結果は、無限大の位数を有する任意のアーベル有限生成群に一般化可能であり、非ユークリッド的設定、特に共形平坦および曲がった多様体へも拡張可能である。