[論文レビュー] Spectral Gaps of Quantum Hall Systems with Interactions

Tohru Koma|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 1998

Quantum and electron transport phenomena参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限範囲の2体相互作用を有する2次元量子ホール系におけるスペクトルギャップをLieb-Schultz-Mattis法を用いて調査する。非整数の填埋率の場合、非ゼロの励起ギャップが存在するならば、時間的に一様な状態が破れること、あるいは一意のギャップレス基底状態が存在することを示し、ギャップのある並進対称性の保存された基底状態が存在するためには有理数の填埋率が必要であることを示している。これは、量子ホール効果において奇分母の填埋率が好まれる理由を説明する。

ABSTRACT

A two-dimensional quantum Hall system without disorder for a wide class of interactions including any two-body interaction with finite range is studied by using the Lieb-Schultz-Mattis method [{\it Ann. Phys. (N.Y.)} {\bf 16}: 407 (1961)]. The model is defined on an infinitely long strip with a fixed large width, and the Hilbert space is restricted to the lowest $(n_{ m max}+1)$ Landau levels with a large integer $n_{ m max}$. We proved that, for a non-integer filling $ν$ of the Landau levels, either (i) there is a symmetry breaking at zero temperature or (ii) there is only one infinite-volume ground state with a gapless excitation. We also proved the following two theorems: (a) If a pure infinite-volume ground state has a non-zero excitation gap for a non-integer filling $ν$, then a translational symmetry breaking occurs at zero temperature. (b) Suppose that there is no non-translationally invariant infinite-volume ground state. Then, if a pure infinite-volume ground state has a non-zero excitation gap, the filling factor $ν$ must be equal to a rational number. Here the ground state is allowed to have a periodic structure which is a consequence of the translational symmetry breaking. We also discuss the relation between our results and the quantized Hall conductance, and phenomenologically explain why odd denominators of filling fractions $ν$ giving the quantized Hall conductance, are favored exclusively.

研究の動機と目的

• 非整数の填埋率を有する相互作用系におけるスペクトルギャップが存在する条件を理解すること。
• ギャップのある基底状態の出現に伴う並進対称性の破れの役割を明確にすること。
• 非ゼロの励起ギャップの存在と填埋率νの有理数性との間の厳密な関係を確立すること。
• 奇分母の填埋率ν = p/q（p, q が奇数の整数）が、量子ホール効果においてなぜ好まれるかを、対称性およびスペクトル的性質に基づいて説明すること。

提案手法

• 無限に長い幅を有するストリップ上に配置された2次元量子ホール系にLieb-Schultz-Mattis法を適用し、最低(n_max + 1)個のLandau準位に制限する。
• 無限体積極限において、n_maxが非常に大きく有限である場合に解析可能なヒルベルト空間を保証する。
• 並進対称性の破れを伴うか否かに応じて、純粋な無限体積基底状態を区別して解析する。
• 非ゼロの励起ギャップが基底状態の構造および填埋率νの値に与える影響を検討することで定理を導出する。
• 短距離相互作用やクーロン相互作用を超える広範な有限範囲の2体相互作用を含むモデルを用いる。
• 数学的厳密性と物理的妥当性を確保するため、周期的ポテンシャルおよびエネルギー・空間のカットオフを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非整数の填埋率νを有する相互作用系において、ギャップのある基底状態がどのような条件下で存在可能か。
• RQ2 非整数のνに対して、非ゼロの励起ギャップが存在することは、必ず並進対称性の破れを意味するのか。
• RQ3 無理数の填埋率νに対して、ギャップがあり並進対称性の保存された基底状態が存在可能か。
• RQ4 なぜ奇分母の填埋率ν = p/q（p, q が奇数の整数）が、量子ホール効果において好まれるのか。
• RQ5 対称性の破れがない状況において、スペクトルギャップと填埋率νの有理数性との関係は何か。

主な発見

• 非整数の填埋率νに対して、純粋な無限体積基底状態において非ゼロの励起ギャップが存在するならば、ゼロ温度下で並進対称性が破れている必要がある。
• 並進対称性の破れを伴わない非変換的基底状態が存在しない場合、ギャップのある基底状態は填埋率νが有理数である場合にのみ存在可能である。
• 並進対称性の保存されたギャップのある基底状態が存在するためには、填埋率νが有理数でなければならない。対称性の破れによって周期的構造を持つ基底状態であっても同様である。
• 本研究の結果は、実験的に観察される奇分母の填埋率の好まれる傾向を理論的に説明するものである。
• 有限範囲の2体相互作用が、スペクトルギャップと填埋率に関する根本的制約を変えることはない。
• 定理は周期的ポテンシャルおよびエネルギー・空間のカットオフを含む一般条件のもとで成り立つため、広範な物理的適用可能性を有する。