[論文レビュー] Spectral Indicator Method for A Non-selfadjoint Steklov Eigenvalue Problem

Juan Liu, Jiguang Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、逆散乱理論に現れる非自己共役Steklov固有値問題の複素固有値を計算するため、有限要素法と修正されたスペクトル指標法（RIM）を組み合わせた手法を提案する。問題を境界のみに依存する小さな離散系に縮小することで、コーシー積分によるスペクトル射影を用いて効率的に固有値を計算し、2次収束を達成し、円形、正方形、L字型領域において結果の妥当性を検証した。

ABSTRACT

We propose an efficient numerical method for a non-selfadjoint Steklov eigenvalue problem. The Lagrange finite element is used for discretization. The convergence is proved using the spectral perturbation theory for compact operators. The non-sefadjointness of the problem leads to non-Hermitian matrix eigenvalue problem. Due to the existence of complex eigenvalues and lack of a priori spectral information, we propose a modified version of the recently developed spectral indicator method to compute (complex) eigenvalues in a given region on the complex plane. In particular, to reduce computational cost, the problem is transformed into a much smaller matrix eigenvalue problem involving the unknowns only on the boundary of the domain. Numerical examples are presented to validate the effectiveness of the proposed method.

研究の動機と目的

• 非自己共役Steklov固有値問題に適用可能な有限要素法の開発。
• 非エルミート行列固有値問題において事前のスペクトル情報が得られない状況下での複素固有値の計算の課題に対処すること。
• 境界上の未知数のみに依存する小さな行列固有値問題に問題を変換することで、計算コストを著しく低減すること。
• 非自己共役問題に適合した再帰的積分法（RIM）の拡張と、コンact作用素のスペクトル摂動論を用いた収束の証明。
• 理論的分析と計算的検証を併せ持つ、非自己共役Steklov固有値問題の包括的数値的検討を初めて提供すること。

提案手法

• 非自己共役Steklov固有値問題の変分定式化に線形ラグランジュ有限要素法を適用する。
• ガレルキン離散化により、非エルミート一般固有値問題に変換する。
• 境界のみの縮約を導出し、境界上での未知数にのみ依存する小さな行列固有値問題を得る。
• 再帰的積分法（RIM）を修正し、複素平面の指定された領域内の複素固有値をコーシー積分により計算する。
• スペクトル射影を用いて、領域内に固有値を含むかどうかを判定する指標関数を定義し、適応的分割を可能にする。
• 領域サイズ（例：d₀ = 1e−9）に基づく停止基準を用いて、固有値近似を高精度に refining する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己共役Steklov固有値問題に対して、有限要素法が厳密に収束することを証明できるか？
• RQ2 事前のスペクトル情報が得られない状況下で、複素固有値を効率的に計算する方法は何か？
• RQ3 境界上でのみ離散化することで、計算コストを著しく低減できるか？
• RQ4 異なる領域形状を有する非自己共役Steklov固有値に対する有限要素近似の収束速度はいかほどか？
• RQ5 Helmholtz型方程式から生じる非エルミート問題に対して、修正されたRIMは複素固有値の計算においてどの程度の性能を示すか？

主な発見

• n(x) = 4 + 4i の非自己共役Steklov固有値問題に対して、単位円および正方形領域では2次収束が達成された。
• L字型領域の2番目の固有値では収束速度が低下しており、関連する固有関数の正則性が低いことが示唆された。
• n(x) = 4 + 4i の単位円に対して、h → 0 のとき最初の固有値は約 0.6866 + 2.4953i に収束した。
• n(x) = 4 + 4i の正方形領域に対して、h → 0 のとき最初の固有値は約 0.5144 + 2.8824i に収束した。
• L字型領域の計算された固有値は、h ≤ 0.0149 のとき、実部および虚部において1e−4の精度で安定した。
• 本手法は高精度で複数の複素固有値を効率的に計算でき、境界のみの定式化は計算コストを顕著に低減した。