[論文レビュー] Spectral interpretations of dynamical degrees and applications

Nguyen-Bac Dang, Charles Favre|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2020

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、射影的代数多様体上の有理写像の力学的次数が、高次元サイクルのb-類のバナッハ空間に自然に定義された作用素のスペクトル半径として特徴づけられることを確立している。バナッハ空間を一般化したピカール＝マナイン空間とホッジ指数定理およびコンパクト性の結果を構成することにより、$\lambda_1^2 > \lambda_2$ の条件下で反復写像の次数の増加が正確に制御されることを示し、その結果、$\mathbb{A}^3$ の自己同型の力学的次数が代数的数であることが結論づけられる。

ABSTRACT

We prove that dynamical degrees of rational self-maps on projective varieties can be interpreted as spectral radii of naturally defined operators on suitable Banach spaces. Generalizing Shokurov's notion of b-divisors, we consider the space of b-classes of higher codimension cycles, and endow this space with various Banach norms. Building on these constructions, we design a natural extension to higher dimensions of the Picard-Manin space introduced by Cantat and Boucksom-Favre-Jonsson in the case of surfaces. We prove a version of the Hodge index theorem, and a surprising compactness result in this Banach space. We use these two theorems to infer a precise control of the sequence of degrees of iterates of a map under the assumption that the square of the first dynamical degree is strictly larger than the second dynamical degree. As a consequence, we obtain that the dynamical degrees of an automorphism of the affine 3-space are all algebraic numbers.

研究の動機と目的

• 有理写像の力学的次数を、高次元サイクルのb-類のバナッハ空間上の作用素のスペクトル半径として解釈すること。
• b-除法とバナッハノルムを用いて、ピカール＝マナイン空間を高次元に一般化すること。
• スペクトル解析のためのバナッハ空間設定におけるホッジ指数定理とコンパクト性結果の証明。
• $\lambda_1^2 > \lambda_2$ の条件下で反復写像の次数の増加を制御すること。
• $\mathbb{A}^3$ の自己同型の力学的次数が代数的数であることを確立すること。

提案手法

• バナッハノルム $\|\cdot\|_{\operatorname{BPF}}$ を備えた、codimension-$k$ サイクルの数値的b-類の空間 $\operatorname{N}_{\operatorname{BPF}}^k(\mathcal{X})$ を構成する。
• 無限次反復の吹き上げに関する極限構成を用いて、ピカール＝マナイン空間を一般化したバナッハ空間 $\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$ を導入する。
• $\mathcal{F}_{\Sigma}(\mathcal{X})$ 上にペアリングを定義し、それによってこの設定におけるホッジ指数定理を確立する。
• $\lambda_1^2 > \lambda_2$ のスペクトルギャップ条件の下で、$\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$ の単位球が相対コンパクトであることを証明する。
• バナッハ空間上の有界作用素のスペクトル理論を用いて、$f^*$ が $\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$ 上に作用する様子を解析し、スペクトル半径が $\lambda_1(f)$ に一致することを同定する。
• $\mathbb{P}^d$ 上の分数イデアル層にスペクトル解析を適用し、それらを次数増加と値の理論に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理写像の力学的次数は、高次元サイクルのb-類のバナッハ空間上の作用素のスペクトル半径として解釈可能か？
• RQ2 数値的b-類のバナッハ空間において、ホッジ指数定理とコンパクト性の結果が成り立つか？
• RQ3 $\lambda_1^2 > \lambda_2$ の条件が反復写像の次数の漸近的増加をどのように制御するか？
• RQ4 $\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$ におけるスペクトルギャップを用いて、力学的次数の代数的性を証明できるか？
• RQ5 $\mathbb{A}^3$ の自己同型の力学的次数は代数的数か？

主な発見

• 力学的次数 $\lambda_1(f)$ は、バナッハ空間 $\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$ 上の引き戻し作用素 $f^*$ のスペクトル半径に等しい。
• $\mathcal{F}_{\Sigma}(\mathcal{X})$ の空間においてホッジ指数定理が成り立ち、b-除法のための整合性のある交差理論が保証される。
• $\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$ の条件下で、$\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$ の単位球は相対コンパクトであり、スペクトル解析が可能になる。
• $\lambda_1^2 > \lambda_2$ の下で、次数列 $\deg_{1,{\omega}}(f^n)$ は、ある $C > 0$ に対して $\deg_{1,{\omega}}(f^n) = C \lambda_1(f)^n + O(\lambda_1(f)^{n/2})$ を満たす。
• スペクトル分解を用いて定義された関数 $L_\star$ は、すべての多項式 $\phi$ に対して $v_\star(\phi \circ f) = \lambda_1(f) v_\star(\phi)$ を満たす値関数であり、スペクトル的性質を裏付ける。
• その結果、$\mathbb{A}^3$ の自己同型の力学的次数は代数的数である。