[論文レビュー] Spectral method for substantial fractional differential equations

Can Huang, Qingshuo Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$0<\nu<1$ である $\nu$ 階および $1+\nu$ 階の実質的分数階微分方程式（FDEs）に対して、非多項式スペクトル・ペトロフ・ガレルキン法と関連するコロケーション技法を導入する。一般化ラウジェル多項式を $\alpha \leq -1$ に拡張し、試行関数空間と検証関数空間を巧みに選択することで、対角的かつ良好に条件付けられた線形系が得られ、基底選択におけるパrameter調整によって高い収束速度を達成する。

ABSTRACT

In this paper, a non-polynomial spectral Petrov-Galerkin method and associated collocation method for substantial fractional differential equations (FDEs) are proposed, analyzed, and tested. We extend a class of generalized Laguerre polynomials to form our basis. By a proper scaling of trial basis and test basis, our Petrov-Galerkin method results in a diagonal and thus well-conditioned linear systems for both fractional advection equation and fractional diffusion equation. In the meantime, we construct substantial fractional differential collocation matrices and provide explicit forms for both type of equations. Moreover, the proposed method allows us to adjust a parameter in basis selection according to different given data to maximize the convergence rate. This fact has been proved in our error analysis and confirmed in our numerical experiments.

研究の動機と目的

• 標準的FDEsとは比較的未解明な実質的分数階微分方程式に対する高次精度数値法の開発を目的とする。
• FDEsのスペクトル法における悪条件線形系の課題に対処し、基底および関数空間の選択によって良好に条件付けられ、対角的線形系を構築することを目的とする。
• 非多項式解の正確な近似を可能にするために、多項式構造を保ちつつ一般化ラウジェル多項式を $\alpha \leq -1$ に拡張することを目的とする。
• 移流方程式および拡散方程式の両方における実質的分数階微分のコロケーション行列の明示的構成を提供することを目的とする。
• 基底における調整可能なパrameterを用いて収束速度を調整可能とし、誤差解析および数値実験により検証することを目的とする。

提案手法

• 本手法は、$e^{-\sigma x} x^{\alpha} L_n^{\alpha}(x)$ で構成される基底を用いる非多項式スペクトル・ペトロフ・ガレルキン枠組みを採用する。ここで $L_n^{\alpha}(x)$ は $\alpha \leq -1$ に拡張された一般化ラウジェル多項式である。
• 試行関数空間と検証関数空間を異なるスケーリングで構築することで、得られる線形系が対角的かつ良好に条件付けられ、条件数の増大を最小限に抑える。
• 一般化ラウジェル多項式の性質およびその分数階微分の性質を活用し、弱形式における実質的分数階微分の正確な計算を可能にする。
• 移流方程式および拡散方程式の両方について、実質的分数階微分のコロケーション行列の明示的表現を導出する。
• 基底におけるパrameterを調整して収束速度を最大化し、誤差解析により理論的裏付けを提供する。
• 厳密な誤差解析および数値実験により、本手法の有効性を検証し、高い収束速度と良好な条件付けを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実質的FDEsに適したスペクトル・ペトロフ・ガレルキン法を設計可能か。その結果、対角的かつ良好に条件付けられた線形系が得られるか。
• RQ2 多項式構造を保ちつつ、一般化ラウジェル多項式を $\alpha \leq -1$ に拡張し、正確な近似が可能か。
• RQ3 基底における調整可能なパrameterが、実質的FDEsに対するスペクトル法の収束速度に与える影響は何か。
• RQ4 移流方程式および拡散方程式の両方における実質的分数階微分のコロケーション行列を明示的に構築可能か。
• RQ5 本新規フレームワークにおいて、得られる線形系の条件数は多項式次数とともにどのように変化するか。

主な発見

• 試行関数空間と検証関数空間の巧みな選択により、提案されたペトロフ・ガレルキン法は対角的線形系を生成し、条件付けの改善と計算効率の向上が顕著に達成される。
• 誤差解析による理論的裏付けと数値的確認により、基底におけるパrameterの調整によって収束速度が最大化され、高い収束速度が達成される。
• 一般化ラウジェル多項式を $\alpha \leq -1$ に拡張した結果、すべての実数 $\alpha$ に対して多項式が得られ、従来の拡張とは本質的に異なる。
• 移流方程式および拡散方程式の両方について、実質的分数階微分のコロケーション行列の明示的表現が導出され、効率的なコロケーションベースの計算が可能になる。
• 対角化のおかげで、条件数の増大が緩やかになる。これは、標準的スペクトル・コロケーション法で見られる $\mathcal{O}(N^{2\nu})$ の増大と対照的である。
• 数値実験により理論的収束速度が確認され、パrameter調整が精度向上に有効であることが示された。