[論文レビュー] Spectral multipliers, Bochner-Riesz means and uniform Sobolev inequalities for elliptic operators

Adam Sikora, Lixin Yan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2015

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ひとこと要約

本稿は、定数係数の高階楕円型作用素 $P(D) - z$ に対して一様ソボレフ不等式を確立し、摂動技法を用いて小規模で逆二乗型のポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素へと拡張する。スペクトル乗数および負の指数を有するボルツァン＝リーマン平均の $L^p$ から $L^q$ への鋭い評価を導出し、ケニグ＝ルイス＝ソッゲの結果を高階作用素へ一般化し、スペクトル乗数設定下でのボルツァン＝リーマン平均の最適可summability条件を提供する。

ABSTRACT

This paper comprises two parts. In the first, we study $L^p$ to $L^q$ bounds for spectral multipliers and Bochner-Riesz means with negative index in the general setting of abstract self-adjoint operators. In the second we obtain the uniform Sobolev estimates for constant coefficients higher order elliptic operators $P(D)-z$ and all $z\in {\mathbb C}\backslash [0, \infty)$, which give an extension of the second order results of Kenig-Ruiz-Sogge \cite{KRS}. Next we use perturbation techniques to prove the uniform Sobolev estimates for Schrödinger operators $P(D)+V$ with small integrable potentials $V$. Finally we deduce spectral multiplier estimates for all these operators, including sharp Bochner-Riesz summability results.

研究の動機と目的

• 定数係数の高階楕円型作用素 $P(D) - z$ に対して、すべての $z \in \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$ に対して一様ソボレフ推定を確立し、ケニグ＝ルイス＝ソッゲの第二階結果を高階に拡張する。
• 抽象的自己共役作用素の一般設定下で、スペクトル乗数および負の指数を有するボルツァン＝リーマン平均の $L^p$ から $L^q$ への評価を構築する。
• 摂動技法を用いて、小規模な $L^1$ ポテンシャル $V$ を有するシュレーディンガー作用素 $P(D) + V$ に対して一様ソボレフ推定を証明する。
• すべての考察対象となる作用素、特に逆二乗型ポテンシャルを有するものについて、鋭いボルツァン＝リーマン和の可summability結果およびスペクトル乗数推定を導出する。

提案手法

• 制限型推定とスペクトル論を用いて、定数係数の高階楕円型作用素に対する一様ソボレフ不等式を導出する。
• 摂動論を適用し、$P(D)$ から $P(D) + V$ への一様ソボレフ推定を、リゾルベント推定と $VR_0(z)$ の $L^p$ 上での有界性を活用して拡張する。
• シュタイン＝トーマスの制限条件およびデイヴィス＝ガッフィニー推定を用いて、スペクトル測度を制御し、スペクトル乗数の $L^p$ 評価を確立する。
• スペクトル分解 $F(L) = \int_0^\infty F(\lambda)\, dE_L(\lambda)$ を用い、$F(\lambda) = (1 - \lambda/R)^\alpha_+$ で定義されるボルツァン＝リーマン平均作用素 $S_R^\alpha(L)$ を用いて、乗数収束を研究する。
• 非接線的最大関数の方法とスペクトル測度 $dE_H(\lambda)$ の $L^p$-有界性を用いて、シュレーディンガー作用素に対する制限型推定を導出する。
• ボルツァン＝リーマン平均の $L^p$ 評価を、ソボレフ埋没と乗数関数の滑らかさ条件に帰着させることで鋭い $L^p$ 評価を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己共役作用素の一般設定下で、スペクトル乗数および負の指数を有するボルツァン＝リーマン平均の $L^p$ から $L^q$ への鋭い評価は何か？
• RQ2 ケニグ＝ルイス＝ソッゲの第二階結果を高階作用素に拡張し、すべての $z \in \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$ に対して高階楕円型作用素 $P(D) - z$ に対して一様ソボレフ推定を確立できるか？
• RQ3 小規模な $L^1$ ポテンシャル $V$ は $P(D) + V$ の一様ソボレフ推定にどのように影響するか？また、摂動技法はこれらの推定を保持できるか？
• RQ4 高階作用素およびシュレーディンガー作用素の文脈において、ボルツァン＝リーマン平均の鋭い和の可summability範囲は何か？
• RQ5 逆二乗型ポテンシャル $V(x) = c/|x|^2$ を有するシュレーディンガー作用素に対して、スペクトル測度 $dE_H(\lambda)$ の制限型推定を確立できるか？

主な発見

• 定数係数の高階楕円型作用素 $P(D) - z$ に対して、$z \in \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$ に対して一様ソボレフ推定が確立され、ケニグ＝ルイス＝ソッゲの第二階結果が高階に拡張された。
• 小規模な $L^1$ ポテンシャル $V$ を有するシュレーディンガー作用素 $P(D) + V$ に対して、$\|V\|_{L^1}$ が十分に小さい限り、すべての $z \in \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$ に対して一様ソボレフ推定が成り立つ。
• ボルツァン＝リーマン平均 $S_R^\alpha(H)$ の $L^p$ から $L^q$ への鋭い評価が得られ、$1 \leq p < \min(\frac{2(n+1)}{n+3}, \frac{n}{m})$ の場合に、最適な和の指数 $\alpha > n(1/p - 1/2) - 1/2$ が得られ、一様作用素ノルム評価が保証される。
• $\mathbb{R}^3$ において $0 \leq c \leq c_0$ の逆二乗型ポテンシャル $V(x) = c/|x|^2$ に対して、スペクトル測度は $1 \leq p \leq 4/3$ の場合に $\|dE_H(\lambda)\|_{p \to p'} \leq C\lambda^{3(1/p - 1/p')/2 - 1}$ を満たすことが示され、この特異的ポテンシャルに対しても制限推定が拡張された。
• $L^p$-有界性を有するリゾルベント $R_0(z)$ および $1 < p < 3/2$ の場合に $\|(I + VR_0(z))^{-1}\|_{p \to p} \leq 2$ となる一様有界性は、$c \geq 0$ で小規模な $c$ を有する $H = -\Delta + V$ に対して制限推定を証明する上で鍵となる。これにより、$p \in [6/5, 4/3]$ への拡張が可能となった。
• 本稿は、$\alpha > n(1/p - 1/2) - 1/2$ のとき関数 $(1 - \lambda)_+^\delta$ がソボレフ空間 $W^{n(1/p - 1/2), 2}$ に属することを示し、これにより定理6.3を適用してボルツァン＝リーマン平均の均一有界性を導出できる。