[論文レビュー] Spectral norm of a symmetric tensor and its computation

Shmuel Friedland, Li Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2018

Tensor decomposition and applications参考文献 39被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、対称テンソルのスペクトルノルムを、テンソルの勾配から導かれる多項式写像の不動点を求める新しい手法を提案する。$n=2$ の場合、スペクトルノルムは $d$ に関して多項式的に計算可能である。$n>2$ が固定されている場合、ヒルベルト＝シュミットノルムに関して多項式的に計算可能であり、対称量子状態の幾何的量子もつれの測度を効率的に計算可能となる。

ABSTRACT

We show that the spectral norm of a $d$-mode real or complex symmetric tensor in $n$ variables can be computed by finding the fixed points of the corresponding polynomial map. For a generic complex symmetric tensor the number of fixed points is finite, and we give upper and lower bounds for the number of fixed points. For $n=2$ we show that these fixed points are the roots of a corresponding univariate polynomial of degree at most $(d-1)^2+1$, except certain cases, which are completely analyzed. In particular, for $n=2$ the spectral norm of $d$-symmetric tensor is polynomially computable in $d$ with a given relative precision. For a fixed $n>2$ we show that the spectral norm of a $d$-mode symmetric tensor is polynomially computable in $d$ with a given relative precision with respect to the Hilbert-Schmidt norm of the tensor. These results show that the geometric measure of entanglement of $d$-mode symmetric qunits on $\mathbb{C}^n$ are polynomially computable for a fixed $n$.

研究の動機と目的

• 対称テンソルのスペクトルノルムを効率的に計算する手法を開発すること。一般に、これは計算がNP困難である。
• スペクトルノルムと導出された多項式写像の不動点との間の関係を確立し、代数的計算を可能にする。
• 固定された $n$ に対して、$d$ モードの対称テンソルのスペクトルノルムが、ヒルベルト＝シュミットノルムに関して $d$ に関して多項式的に計算可能であることを示すこと。
• この手法を、特に $d$ モードの対称キュービットおよびキュートリットの対称量子状態における幾何的もつれの測度を計算するために応用すること。
• 特に $n=2$ および $n=3$ の場合に、複素数および実数の場合の不動点の数と構造を分析すること。

提案手法

• 対称テンソルに関連する斉次多項式 $f$ から、勾配写像 $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \frac{1}{d}\nabla f(\mathbf{x})$ を定義する。
• 不動点がスペクトルノルムの臨界点に対応するように、反復写像 $\mathbf{H}(\mathbf{x}) = \overline{\mathbf{F}(\overline{\mathbf{F}(\mathbf{x})})}$ を構築する。
• 代数幾何学的手法を用いて、一般の $f$ に対して $\mathbf{H}$ の不動点の数が重複度を含めて $ (d-1)^{2n} $ であることを示す。
• $n=2$ の場合、問題を高々 $ (d-1)^2 + 1 $ 次の単変数多項式の根に帰着させ、多項式時間での計算を可能にする。
• 具体的な例で不動点およびスペクトルノルムを計算するために、数値代数幾何学のツール（例：Bertini）を適用する。
• 一般性を特徴付けるために、ハイパードテルミナント多様体 $\mathrm{H}(d,n)$ を用いることで、有限で孤立した不動点を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称テンソルのスペクトルノルムは、最適化ではなく多項式写像の不動点を用いて計算可能か？
• RQ2 一般の対称テンソルに対して、写像 $\mathbf{H}$ の不動点の数は何か？ これはテンソルの次数および次元とどのように関係するか？
• RQ3 固定された $n$ に対して、$\mathbb{C}^n$ 上の $d$ モード対称テンソルのスペクトルノルムは $d$ に関して多項式的に計算可能か？
• RQ4 $\mathbf{F}$ の実数不動点の数は実スペクトルノルムとどのように関係し、もつれ測度にどのような意味を持つのか？
• RQ5 この代数的アプローチを用いて、対称量子状態の幾何的もつれの測度を効率的に計算可能か？

主な発見

• $n=2$ の場合、固定点が高々 $ (d-1)^2 + 1 $ 次の単変数多項式の根に帰着されるため、相対誤差が与えられた精度で与えられる場合、$d$ に関して多項式的にスペクトルノルムが計算可能である。
• 一般の複素対称テンソルに対して、$\mathbf{H}$ の不動点の数は重複度を含めて $ (d-1)^{2n} $ であり、これらの点はスペクトルノルムを計算するのに十分である。
• $n=3$ の場合、一般の実数パラメータに対して $\mathbf{F}$ の実数不動点の数は $8 = (3-1)^3 $ であるが、ディッケ状態 $\mathcal{S}(3,3)$ を除き、これは実数不動点が5つしかない。
• ディッケ状態 $\mathcal{S}(3,3)$ は $f_{0,\sqrt{6}}$ に対応し、最小スペクトルノルム $ \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0.4714 $ を達成しており、最大もつれを示している。
• $n=2$ の場合、$t=1$, $\omega = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ の $f_e$ のスペクトルノルムは、不動点解法により約 $0.5840$ に計算される。
• 対称 $4$-クォアドゥプルの族において、$a = \frac{\sqrt{6}}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)$, $b = \frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$ のとき、ノルム $\|f_{a,b}\|_{\sigma}$ は $0.4714$ に達し、$\|\mathcal{W} \otimes \mathcal{W}\|_{\sigma} = \frac{4}{9} \approx 0.4444$ のW状態積のノルムを上回る。