[論文レビュー] Spectral problems for non elliptic symmetric systems with dissipative boundary conditions

Ferruccio Colombini, Vesselin Petkov+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、外部領域における非楕円的対称双曲型系に非一様境界条件を課した場合のスペクトル構造を確立し、強制的仮定のもとで、開左半平面内の生成作用素のスペクトルが、すべて有限多重度の孤立固有値からなることを証明する。この研究は、楕円性や自己随伴性を欠く系への散乱理論およびスペクトル理論の拡張を図り、厳密に非一様な境界条件を課したマクスウェル方程式を含む。

ABSTRACT

This paper considers and extends spectral and scattering theory to dissipative symmetric systems that may have zero speeds and in particular to strictly dissipative boundary conditions for Maxwell's equations. Consider symmetric systems $\\partial_t - \\sum_{j=1}^n A_j \\partial_{x_j}$ in ${\\mathbb R}^n,\\: n \\geq 3$, $n$ odd, in a smooth connected exterior domain $\\Omega := {\\mathbb R}^n \\setminus \\bar{K}$. Assume that the rank of $A(\\xi) = \\sum_{j= 1}^n A_j \\xi_j$ is constant for $\\xi \ ot= 0.$ For maximally dissipative boundary conditions on $\\Omega :={\\mathbb R}^n \\setminus \\bar{K}$ with bounded open domain $K$ the solution of the boundary problem in ${\\mathbb R}^{+} \ imes \\Omega$ is described by a contraction semigroup $V(t) = e^{t G_b},\\:t \\geq 0.$ Assuming coercive conditions for $G_b$ and its adjoint $G_b^*$ on the complement of their kernels, we prove that the spectrum of $G_b$ in the open half plane $\\Re z < 0$ is formed only by isolated eigenvalues with finite multiplicities.

研究の動機と目的

• 非楕円的かつ自己随伴性を欠く非一様対称双曲型系へのスペクトル理論および散乱理論の拡張。
• 外部領域における最大非一様境界条件を満たす系の生成作用素 $ G_b $ のスペクトル特性の分析。
• 強制的仮定のもとで、$ \operatorname{Re} z < 0 $ における $ G_b $ のスペクトルが、すべて有限多重度の孤立固有値からなることを確立。
• 系、境界条件、領域の小さな摂動に対する離散スペクトルの安定性の証明。
• 波動方程式の結果を、厳密に非一様境界条件を課したマクスウェル方程式へ拡張。

提案手法

• 外部領域 $ \Omega = \mathbb{R}^n \setminus \overline{K} $（$ n \geq 3 $、奇数）における対称系 $ \partial_t - \sum A_j \partial_{x_j} $ の初期境界値問題を定式化。
• 空間 $ L^2(\Omega; \mathbb{C}^r) $ 上の収縮半群 $ V(t) = e^{tG_b} $ の生成作用素 $ G_b $ を定義し、境界条件 $ u(t,x) \in \mathcal{N}(x) $（$ \mathcal{N}(x) $ は最大非一様）を満たす。
• 生成作用素 $ G_b $ およびその随伴 $ G_b^* $ の核の直交補空間上で、強制的推移 $ (H) $ および $ (H)^* $ を課し、空間微分の制御を保証。
• 切断関数および基本解を用いたコンパクト性の議論により、近似固有関数の前コンパクト性を証明。
• 正則化作用素 $ (G_b - z)^{-1} $ の特徴付けを用い、$ \operatorname{Re} z < 0 $ 内の近似固有値が実際に固有値であることを示す。
• 条件 $ (E) $ を満たす系へ一般化し、$ \operatorname{div} u = 0 $ を $ Qu = 0 $ に置き換え、$ z^2 - G^2 + Q^*Q $ の基本解を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非楕円的対称双曲型系に非一様境界条件を課した場合の生成作用素 $ G_b $ のスペクトル構造はいかなるものか？
• RQ2 $ \operatorname{Re} z < 0 $ における $ G_b $ のスペクトルが、すべて有限多重度の孤立固有値からなるための条件は何か？
• RQ3 系、境界条件、領域の小さな摂動に対して、離散スペクトルはどのように振る舞うか？
• RQ4 波動方程式に対するスペクトル結果を、厳密に非一様境界条件を課したマクスウェル方程式へ拡張可能か？
• RQ5 強制的仮定 $ (H) $ 及びその双対 $ (H)^* $ は、スペクトルの離散性と安定性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 強制的仮定 $ (H) $ および $ (H)^* $ が成り立つ限り、$ \operatorname{Re} z < 0 $ における $ G_b $ のスペクトルは、すべて有限多重度の孤立固有値からなる。
• 曲線上に固有値が存在しない場合、スペクトル射影子 $ \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z - \hat{z}| = r} (z - G_b)^{-1} \, dz $ は摂動に対して連続的である。
• 摂動後に固有値が有限個の点に分裂する可能性があるが、その数はスペクトル射影子の有限ランクによって上限が与えられる。
• 厳密に非一様境界条件を課したマクスウェル方程式に対しては、離散スペクトルは小さな摂動に対して安定である。
• 証明は、切断技術による近似固有関数の前コンパクト性と、$ z^2 - \Delta $ の基本解による逆演算に依拠している。
• 結果は、$ \operatorname{div} u = 0 $ を $ Qu = 0 $ に置き換えた条件 $ (E) $ を満たす系へ一般化可能であり、$ z^2 - G^2 + Q^*Q $ の基本解が用いられる。