[論文レビュー] Spectral properties of Anderson-percolation Hamiltonians

Ivan Veselić|ArXiv.org|Aug 7, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{Z}^d$ 上のランダムな透過グラフにおけるアンドリソン透過ハミルトニアンのスペクトル的性質を調査し、スペクトルおよびその成分のほとんど確実な非確率的性質を確立する。特定の条件下で状態密度関数（IDS）が連続であることを証明し、Wegner型推定式を導出し、特定のエネルギー領域におけるスペクトルが完全に離散的で、指数関数的に局在化した固有関数を持つことを示す。また、固有値は、有限台を持つものと純粋点スペクトル成分の間で極めて不規則に分布していることが判明する。

ABSTRACT

This is a slightly enlarged and corrected version of a contribution to the Oberwolfach Reports 3(1):511-552, 2006. We summarise some results on spectral properties of Laplacians on percolation graphs and more general Anderson-percolation Hamiltonians proven in references [4], [5], [6], and [7]. For some specific examples of such operators more detailed spectral properties are discussed.

研究の動機と目的

• ランダム透過グラフ上のアンドリソン透過ハミルトニアンのスペクトル成分（本質的、純粋点、離散的など）のほとんど確実な非確率的性質を確立すること。
• 状態密度関数（IDS）とそのスペクトルとの関係を特定すること、特にi.i.d. および定常エルゴードな確率的ポテンシャル下での関係を明らかにすること。
• IDSに対するWegner型推定式を導出し、その正規性、特に絶対連続性および状態密度の上限を分析すること。
• 有限台を持つ固有値（$\Sigma_{\text{fin}}$）と完全な純粋点スペクトル（$\Sigma_{\text{pp}}$）の区別をし、それらの相対的位置関係を分析すること。
• Wegner推定式と多スケール解析を組み合わせることで、Lifshitzテール領域における局在化を証明し、特定のエネルギー領域で連続スペクトルが存在しないことを示すこと。

提案手法

• 確率空間 $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ を $\mathbb{Z}^d$ 上に定義し、i.i.d. または定常エルゴードな確率変数 $q(\omega,x)$ を用い、$q(\omega,x) < \infty$ となる頂点を保持することでランダム部分グラフ $X(\omega)$ を定義する。
• ハミルトニアン $H_\omega = A_\omega + q(\omega, \cdot)$ を、$\ell^2(X(\omega))$ 上に定義する。ここで $A_\omega$ はランダムグラフ $X(\omega)$ 上の隣接作用素である。
• 状態密度関数（IDS）は $N(E) = \mathbb{E}[\langle \delta_0, \chi_{(-\infty,E]}(H_\omega) \delta_0 \rangle]$ として定義され、その分布測度 $\nu$ がスペクトルの特徴づけに用いられる。
• 定理により、すべての $\bullet \in \{\text{disc}, \text{ess}, \text{ac}, \text{sc}, \text{pp}, \text{fin}\}$ に対して、ほとんど確実に $\sigma(H_\omega) = \Sigma$ および $\sigma_\bullet(H_\omega) = \Sigma_\bullet$ が成り立つ。
• Wegner型推定式が導出される：$\mu$ が $]a-2d,b+2d[$ で絶対連続で有界な密度を持つとき、$\mathbb{E}[\mathrm{Tr}[\chi_I(H_\omega^L)]] \leq C|I|L^d$ が成り立ち、IDS密度に対する一様な上限が得られる。
• 多スケール解析を適用し、$\min \Sigma = -2d$ の近傍におけるLifshitzテール領域で、スペクトルが完全に離散的で、指数関数的に局在化した固有関数を持つことがほとんど確実に示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンドリソン透過ハミルトニアンのスペクトルはほとんど確実に非確率的であり、状態密度関数の台とどのように関係しているか？
• RQ2 状態密度関数（IDS）が連続となる条件は何か？ その密度にどのような上限を設定できるか？
• RQ3 有限台を持つ固有値の集合（$\Sigma_{\text{fin}}$）と純粋点スペクトル（$\Sigma_{\text{pp}}$）の関係は？ また、全固有値集合の構造は？
• RQ4 このクラスのランダムハミルトニアンに対してWegner推定式を確立できるか？ その正規性に与える影響は？
• RQ5 Lifshitzテール領域におけるスペクトルは局在化を示すか？ そして、多スケール解析によってこれを証明できるか？

主な発見

• スペクトル $\sigma(H_\omega)$ およびすべての成分（$\sigma_{\text{disc}}, \sigma_{\text{ess}}, \sigma_{\text{ac}}, \sigma_{\text{sc}}, \sigma_{\text{pp}}, \sigma_{\text{fin}}$）は、ほとんど確実に非確率的であり、それぞれの確定的集合 $\Sigma, \Sigma_\bullet$ に等しい。これは、ほとんどすべての $\omega \in \Omega'$ に対して成り立つ。
• IDS $N(E)$ は、$\mu$ が有限値で原子を持たない場合に連続であり、$\mu$ が有界な密度を持つ絶対連続性を示す区間では、その密度が $C$ で有界である。
• $\Sigma_{\text{fin}}$ は、有限集合 $G \subset \mathbb{Z}^d$ と $f \in \ell^2(G)$ が存在し、$H^G f = E f$ を満たすような $E \in \mathbb{R}$ の集合に等しく、$[-2d, 2d]$ で稠密であり、代数的整数から構成される。
• ある $\alpha \in (0,1)$ に対してエネルギー領域 $U = [-2d, -2d + \alpha]$ において、$H_\omega$ のスペクトルはほとんど確実に完全に離散的であり、指数関数的に局在化した固有関数を持つ。また、この領域ではIDSは絶対連続である。
• $\sigma_\epsilon(H_\omega)$ である全固有値集合は、$\Sigma_{\text{fin}}$ と $\Sigma_{\text{pp}}$ の間で厳密に挟まれており、ほとんど確実に $\Sigma_{\text{fin}} \subsetneqq \sigma_\epsilon(H_\omega) \subsetneqq \Sigma_{\text{pp}}$ が成り立つ。これは、固有値の極めて不規則な分布を示している。
• $\mu = \frac{1}{3}\chi_{[0,1]} + \frac{1}{3}\delta_{4d} + \frac{1}{3}\delta_\infty$ の場合、すべての $E < 2d$ に対してWegner推定式が成り立ち、このような領域ではIDSの密度が有界である。