[論文レビュー] Spectral properties of non-self-adjoint operators

Johannes Sjoestrand|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 63被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、小さな確率的摂動を受ける非自己随伴微分作用素のスペクトル的性質を調査し、固有値分布の分布に注目している。微細局所解析と確率論的手法を用いて、小さな確率的摂動を受ける楕円型作用素の固有値について、概ね確実に成立するウェーラー漸近展開を確立した。このように、摂動によってスペクトルが安定化され、元の状態ではスペクトル不安定性を示すにもかかわらず、ウェーラー型の固有値分布が回復されることを示した。

ABSTRACT

This text is a slightly expanded version of my 6 hour mini-course at the PDE-meeting in Évian-les-Bains in June 2009. The first part gives some old and recent results on non-self-adjoint differential operators. The second part is devoted to recent results about Weyl distribution of eigenvalues of elliptic operators with small random perturbations.

研究の動機と目的

• 非自己随伴作用素のスペクトル不安定性を理解すること。特に、スペクトルから離れた場所で大きなリゾルベントノルムを示すこと。
• 小さな確率的摂動が、スペクトル不安定性を克服し、固有値分布の正則性を回復する仕組みを分析すること。
• 小さな確率的摂動を受ける楕円型作用素の固有値について、概ね確実に成立するウェーラー漸近展開を確立すること。
• 非自己随伴スペクトル理論における擬スペクトルとリゾルベント推定値の役割を調査すること。
• 非自己随伴作用素における固有値統計、共鳴、リゾルベントの境界に関する未解決問題を調査すること。

提案手法

• 非自己随伴作用素のリゾルベントおよびスペクトル的性質を研究するために、微細局所解析を用いる。
• 特定の行列作用素の行列式が消える確率を推定するための確率論的手法を適用し、固有値の存在を保証する。
• スペクトル解析をモデル作用素の可逆性に還元するために、Grushin問題の枠組みを用いる。
• 摂動された作用素の可逆性を制御するために、d-bar方程式および正則関数論を用いる。
• δポテンシャルおよび許容可能な摂動に関連する行列の特異値推定と半古典的解析を組み合わせる。
• 位相空間における体積および縮約の議論を用いて、確率的摂動設定下でのウェーラー型漸近展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな確率的摂動は、非自己随伴楕円型作用素の固有値について、ウェーラー漸近展開を回復させることができるか？
• RQ2 小さな確率的摂動の下で、非自己随伴作用素の擬スペクトルはどのように振る舞うか？
• RQ3 減衰項が確率的摂動を受けるダムド波動方程式における固有値の虚数部は、ウェーラー法則に従うか？
• RQ4 確率的非自己随伴作用素の固有値分布は、確率的多項式と類似したポアソン統計または相関を示すことができるか？
• RQ5 非自己随伴作用素に対して、確率的摂動の下で得られるリゾルベントノルムの最も鋭い境界は何か？

主な発見

• 小さな確率的摂動を受ける楕円型非自己随伴作用素の大きな固有値について、概ね確実にウェーラー漸近展開が成立し、確率は1に近づく。
• 確率的摂動はスペクトルを効果的に安定化させ、リゾルベントの境界を改善し、ウェーラー型の固有値分布を可能にする。
• 1次元では、ボルドー・モントリエが示したように、ガウス確率的摂動の下で、リゾルベントノルムに対する多項式上界を得ることができる。
• PT対称性を持つ楕円型作用素にPT対称な確率的摂動を加えた場合、高確率でウェーラー漸近展開が成立し、多くの固有値が実軸上にないことを示唆する。
• 証明は、Grushin問題に関連する行列式が消える確率を推定することに依存しており、関数計算および特異値推定を用いる。
• 位相空間の体積に関する考察とSobolev空間における摂動論への還元により、多変数半古典的設定への応用が可能になる。