[論文レビュー] Spectral Properties of Schrödinger Operators on Perturbed Lattices

Kazunori Ando, Hiroshi Isozaki+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 50被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 2$次元における摂動された周期的格子上のシュレーディンガー作用素について、厳密なスペクトル理論および散乱理論を確立する。アグモン＝ホルンダーアの極限吸収原理および放射条件の枠組みを離散的設定へと拡張する。埋め込まれた固有値の非存在を証明し、スペクトル表現を構成し、フェルミ面の厳密な凸性を仮定しないでトーラス上での波フロント集合の解析によりS行列を定義する。

ABSTRACT

We study the spectral properties of Schrödinger operators on perturbed lattices. We shall prove the non-existence or the discreteness of embedded eigenvalues, the limiting absorption principle for the resolvent, construct a spectral representation, and define the S-matrix. Our theory covers the square, triangular, diamond, Kagome lattices, as well as the ladder, the graphite and the subdivision of square lattice.

研究の動機と目的

• 摂動された周期的格子上におけるシュレーディンガー作用素の前向き散乱理論を、$d \geq 2$次元で構築すること。
• 古典的な凸性仮定による制限を克服し、離散的設定におけるリゾルベントの極限吸収原理を確立すること。
• 波フロント集合の解析を用いてスペクトル表現を構成し、S行列を定義すること。
• 固定エネルギーにおけるS行列データからの再構成を可能にするために、逆散乱計画を支援する完全な前向き解析を提供すること。

提案手法

• 格子上のラプラシアンをフーリエ級数を用いてトーラス $\mathbf{T}^d$ 上の行列値関数 $H_0(x)$ に変換し、スペクトル解析を特性多項式 $p(x,\lambda) = \det(H_0(x) - \lambda)$ の解析に還元する。
• 分布のトーラス上での除法定理を主な解析的道具として用い、リゾルベントおよびその特異点を研究する。
• ヒルベルトの零点定理を用いてトーラス上でのリッヒト型一意性定理を証明し、放射条件の下での解の一意性を保証する。
• 放射条件を波フロント集合の観点から定式化し、古典的な外部波条件に代わり、フェルミ面の厳密な凸性を仮定する必要を回避する。
• S行列は、入射散乱データと出射散乱データの関係を用いて定義され、スペクトル表現における解の漸近的挙動を用いる。
• 本理論は、正方形、三角形、ダイヤモンド、カゴーメ、ラダー、グラファイト、および分割正方形格子など、さまざまな格子に適用可能であり、広範な適用可能性を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動された格子上におけるシュレーディンガー作用素は、離散的設定においてリゾルベントの極限吸収原理を有するか？
• RQ2 フェルミ面の厳密な凸性を仮定しないで、S行列を厳密に定義し特徴づけることは可能か？
• RQ3 連続スペクトル内に埋め込まれた固有値が存在しない、または離散的であるための条件は何か？
• RQ4 トーラスに基づく解析を用いて、摂動された格子上におけるシュレーディンガー作用素のスペクトル表現をどのように構成できるか？
• RQ5 固定エネルギーにおけるS行列の解析によって、逆散乱問題にどの程度まで到達できるか？

主な発見

• リッヒト型定理とベゾン型空間における双対性に依拠し、一般な条件下で埋め込まれた固有値の非存在が確立される。
• リゾルベント $ (\widehat{H} - \lambda \pm i0)^{-1} $ に対して極限吸収原理が成り立ち、その極限が重み付きベゾン空間 $ \widehat{\mathcal{B}}^* $ の双対空間内に存在することが示される。
• ヘルムホルツ方程式 $ (\widehat{H} - \lambda)\widehat{u} = 0 $ の解空間を用いてスペクトル表現が構成され、これは入射データ空間の双対として特徴づけられる。
• S行列 $ S(\lambda) $ は線形写像 $ \phi^{\text{in}} \mapsto \phi^{\text{out}} $ として定義され、$ \phi^{\text{out}} $ は放射条件およびリゾルベント構造によって一意に定まる。
• フェルミ面 $ M_\lambda $ の厳密な凸性を仮定する必要がなくなり、非凸または退化したフェルミ面を有する格子への適用範囲が拡大される。
• 本フレームワークは、正方形、三角形、ダイヤモンド、カゴーメ、ラダー、グラファイト、分割正方形格子など、多数の格子に一様に適用可能であり、その一般性が確認される。