[論文レビュー] Spectral properties of Volterra-type integral operators on Fock--Sobolev spaces

Tesfa Mengestie|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、古典的ガウス重みより遅く減衰する重みを持つFock–Sobolev空間 $\mathcal{F}_{\psi_m}^p$ 上でのボルテラ型積分作用素 $V_g$ と $I_g$ のスペクトル性質を調査する。$V_g$ が有界であるための必要十分条件は $g$ が次数 ≤2 の多項式であること、コンパクトであるための必要十分条件は次数 ≤1 であること、かつコンパクトである場合には $p>2$ のときシュレーディンガークラス $\mathcal{S}_p$ に属することを示した。$V_g$ のスペクトルは、$g$ の先頭係数の2倍の半径をもつ閉円板である。$I_g$ は $g$ が定数である場合にのみ有界であり、コンパクトであるのは $g\equiv 0$ の場合に限る。このときスペクトルは $\{c\}$ である。微分作用素 $D$ はこれらの空間上で有界でないことが示された。

ABSTRACT

We study some spectral properties of Volterra-type integral operators $V_g$ and $I_g$ with holomorphic symbol $g$ on the Fock--Sobolev spaces $\mathcal{F}_{ψ_m}^p$. We showed that $V_g$ is bounded on $\mathcal{F}_{ψ_m}^p$ if and only if $g$ is a complex polynomial of degree not exceeding two, while compactness of $V_g$ is described by degree of $g$ being not bigger than one. We also identified all those positive numbers $p$ for which the operator $V_g$ belongs to the Schatten $\mathcal{S}_p$ classes. Finally, we characterize the spectrum of $V_g$ in terms of a closed disk of radius twice the coefficient of the highest degree term in a polynomial expansion of $g$.

研究の動機と目的

• 古典的ガウス重みより遅く減衰する重みを持つFock–Sobolev空間 $\mathcal{F}_{\psi_m}^p$ 上でのボルテラ型積分作用素 $V_g$ と $I_g$ の有界性、コンパクト性、およびスペクトル構造を調査すること。
• $V_g$ および $I_g$ が $\mathcal{F}_{\psi_m}^p$ 上で有界またはコンパクトであるための、全純関数 $g$ に関する明確な条件を同定すること。
• $V_g$ のスペクトルを $g$ の次数および先頭係数を用いて特徴づけ、$p>2$ のとき $V_g$ がシュレーディンガー $\mathcal{S}_p$ クラスに属する条件を特定すること。
• $\mathcal{F}_{\psi_m}^p$ 上での微分作用素 $Df = f'$ の有界性を検討し、重みの減衰が遅いにもかかわらず、$D$ が有界でないことを示すこと。

提案手法

• 重み $\psi_m(z) = \frac{1}{2}|z|^2 - m\log(1+|z|)$ を用いた $\mathbb{C}$ 上の重み付き $L^p$-ノルム推定を用い、$|f(z)|^p e^{-p\psi_m(z)}$ の可積分性によってFock–Sobolev空間 $\mathcal{F}_{\psi_m}^p$ を定義する。
• $V_g$ および $I_g$ の有界性とコンパクト性は、積分表現と点ごとの推定を用い、部分積分および双対性の議論を組み合わせて分析する。
• $V_g$ のスペクトルは、解の存在と成長推定を用いたリゾルベント作用素 $R_{(g,\lambda)} = (\lambda I - V_g)^{-1}$ の研究により特定される。特に $e^{g(z)/\lambda}$ が $\mathcal{F}_{\psi_m}^p$ に属するかを評価する。
• シュレーディンガー $\mathcal{S}_p$ クラスへの属性は、トレースクラスの基準と $f$ 及びその微分の $L^p$-ノルムに関するノルム推定を用いて評価する。
• 微分作用素 $D$ の有界でないことは背理法により証明され、再生核の導関数のノルムと劣調和性推定を用いる。
• 主要な推定は、$\|f\|_{(p,m)}^p \simeq \int_{\mathbb{C}} |f(z)|^p (1+|z|)^{mp} e^{-\frac{p}{2}|z|^2} dA(z)$ のノルム比較と、$|z| \to \infty$ における漸近的挙動に基づく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの全純関数 $g$ に対してボルテラ作用素 $V_g$ が $\mathcal{F}_{\psi_m}^p$ 上で有界となるか？
• RQ2 $V_g$ が $\mathcal{F}_{\psi_m}^p$ 上でコンパクトとなるための $g$ の明確な条件は何か？
• RQ3 $V_g$ がコンパクトであるとき、$\mathcal{F}_{\psi_m}^2$ 上でどの $p$ に対してシュレーディンガークラス $\mathcal{S}_p$ に属するか？
• RQ4 $g$ の係数を用いて $V_g$ のスペクトルはどのように表されるか？
• RQ5 微分作用素 $Df = f'$ は $\mathcal{F}_{\psi_m}^p$ 上で有界か？

主な発見

• $V_g$ は $\mathcal{F}_{\psi_m}^p$ 上で有界であるための必要十分条件は、$g$ が複素数係数の次数が2以下である多項式であること。
• $V_g$ は $\mathcal{F}_{\psi_m}^p$ 上でコンパクトであるための必要十分条件は、$g$ が次数が1以下である多項式であること。
• $V_g$ が $\mathcal{F}_{\psi_m}^2$ 上でコンパクトであるならば、すべての $p > 2$ に対して $V_g$ はシュレーディンガークラス $\mathcal{S}_p$ に属し、$0 < p < 2$ では $g \equiv 0$ の場合にのみ $\mathcal{S}_p$ に属する。
• $V_g$ のスペクトルは、$g(z) = az^2 + bz + c$ の展開における $z^2$ の係数 $a$ を用いて $\overline{D(0, 2|a|)}$ と表される閉円板である。
• $I_g$ は $\mathcal{F}_{\psi_m}^p$ 上で有界であるための必要十分条件は $g$ が定数であること、コンパクトであるための必要十分条件は $g \equiv 0$ であることであり、$g \equiv c$ のときスペクトルは $\{c\}$ である。
• 微分作用素 $Df = f'$ はすべての $p \in (0, \infty)$ に対して $\mathcal{F}_{\psi_m}^p$ 上で有界でない。これは核のノルム推定を用いた背理法により示された。