[論文レビュー] Spectral radius and Hamiltonicity of graphs and balanced bipartite graphs with large minimum degree

Jun Ge, Bo Ning|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Graph theory and applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、最小次数が大きいグラフおよびバランスドな二部グラフにおけるハミルトニアン性のスペクトル半径条件を確立する。十分に大きな $ n $ に対して、$ 2n $ 順序のバランスドな二部グラフで、最小次数 $ \delta(G) \geq k $ かつスペクトル半径 $ \lambda(G) \geq \sqrt{n(n-k)} $ を満たす場合、$ B^k_n $ に同型でない限りハミルトニアンサイクルを含む。また、Nikiforov の結果を $ k \geq 1 $ に拡張し、古典的ハミルトニアン性定理のスペクトル的類似を精緻化する。

ABSTRACT

Investigating the relationship between eigenvalues of a graph and its cycle structure is a standard topic in spectral graph theory. This paper mainly concerns spectral conditions for the existence of Hamilton cycles in graphs and in balanced bipartite graphs, respectively. Let $\lambda(G)$ be the spectral radius of a simple graph $G$. Our main result is: (a) Let $k\geq 1$, $n\geq k^3+2k+4$, and let $G$ be a balanced bipartite graph of order $2n$ with minimum degree $\delta(G)\geq k$. If $\lambda(G)\geq \sqrt{n(n-k)}$, then $G$ has a Hamilton cycle unless $G=B^k_n$, where $B^k_n$ is the graph obtained from $K_{n,n}$ by deleting a $K_{k,n-k}$. This result further gives a spectral analogue of Moon-Moser's theorem on Hamilton cycles in balanced bipartite graphs, and extends the previous result due to Li and the second author for $n$ sufficiently large. Recently, Nikiforov proved that: (b) Let $k\geq 2$. Let $G$ be a graph of order $n\geq k^3+k+4$ with minimum degree $\delta(G)\geq k$. If $\lambda(G)\geq n-k-1$, then $G$ has a Hamilton cycle unless $G=K_1\vee (K_k+K_{n-k-1})$, or $G=K_k\vee (kK_1+K_{n-k-1})$. We show that Nikiforov's theorem holds for: $k\geq 1$ and $n\geq \max\{\frac{1}{2}k^3+k+\frac{5}{2},6k+5\}$.

研究の動機と目的

• 最小次数が大きいグラフにおけるハミルトニアン性を保証するスペクトル的条件を確立すること。
• バランスドな二部グラフにおける Moon-Moser のハミルトニアンサイクルに関する定理のスペクトル的類似を提供すること。
• Nikiforov がスペクトル半径とハミルトニアン性の関係について示した結果を、$ k \geq 1 $ およびより小さい $ n $ に拡張すること。
• スペクトル条件を満たすがハミルトニアンサイクルを含まない極値グラフを同定すること。

提案手法

• ハミルトニアン性の十分条件を導くために、主なグラフ不変量としてスペクトル半径 $ \lambda(G) $ を用いる。
• 例外として考えられる極値グラフ、たとえば $ B^k_n $（$ K_{n,n} $ から $ K_{k,n-k} $ を削除して得られるグラフ）を分析する。
• 固有値の入れ子性および安定性の議論を用いて、非ハミルトニアングラフのスペクトル半径を評価する。
• 既知の最小次数および連結性に関する結果を用いて、スペクトル閾値を満たさないグラフの構造を制約する。
• バランスドな二部グラフ（順序 $ 2n $）に対して、$ n \geq k^3 + 2k + 4 $ のもとで、$ \lambda(G) \geq \sqrt{n(n-k)} $ という閾値を確立する。
• Nikiforov の結果を、$ k \geq 1 $ および $ n \geq \max\{\frac{1}{2}k^3 + k + \frac{5}{2}, 6k + 5\} $ に対して検証することで拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バランスドな二部グラフで最小次数が大きい場合、どのようなスペクトル半径条件下でハミルトニアンサイクルが存在するか？
• RQ2 スペクトル条件を満たすがハミルトニアンサイクルを含まない極値グラフは何か？
• RQ3 Nikiforov のハミルトニアン性に関するスペクトル条件は、$ k \geq 1 $ およびより小さい $ n $ に対しても拡張可能か？
• RQ4 スペクトル半径は、最小次数が大きいグラフにおけるサイクル構造とどのように関係するか？
• RQ5 バランスドな二部グラフに対して、Moon-Moser の定理のスペクトル的類似は存在するか？

主な発見

• $ n \geq k^3 + 2k + 4 $ のもとで、順序 $ 2n $ のバランスドな二部グラフで $ \delta(G) \geq k $ かつ $ \lambda(G) \geq \sqrt{n(n-k)} $ を満たす場合、$ B^k_n $ に同型でない限りハミルトニアンサイクルを含む。
• $ K_{n,n} $ から $ K_{k,n-k} $ を削除して得られるグラフ $ B^k_n $ は、バランスドな二部グラフにおけるハミルトニアン性のスペクトル条件に対して唯一の例外である。
• Nikiforov がスペクトル半径とハミルトニアン性の関係について示した結果は、$ k \geq 1 $ に拡張され、閾値として $ n \geq \max\{\frac{1}{2}k^3 + k + \frac{5}{2}, 6k + 5\} $ が得られた。
• スペクトル条件 $ \lambda(G) \geq \sqrt{n(n-k)} $ は、バランスドな二部グラフにおける Moon-Moser の定理のタイトなスペクトル的類似を提供する。
• 極値グラフ $ K_1 \vee (K_k + K_{n-k-1}) $ および $ K_k \vee (kK_1 + K_{n-k-1}) $ は、$ k \geq 1 $ のもとで Nikiforov のスペクトル閾値を満たすがハミルトニアンでない唯一のグラフである。
• 本結果は、従来のスペクトル的条件を統合・拡張し、最小次数の制約のもとでスペクトル半径のみでハミルトニアン性を検出可能であることを示している。