[論文レビュー] Spectral radius and rainbow Hamiltonicity in bipartite graphs

Meng chen, Ruifang Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2026

Graph theory and applications被引用数 0

ひとこと要約

要約: 本論文は二部グラフファミリにおける虹色 Hamilton 路経・回路の存在に対する厳密なスペクトル半径条件を提供し、対応するスペクトル極値グラフを完全に表現する。

ABSTRACT

Let $\mathcal{G}=\{G_1, G_2, \ldots , G_k\}$ be a family of bipartite graphs on the same vertex set. A rainbow Hamilton path (cycle) in $\mathcal{G}$ is a path (cycle) that visits each vertex precisely once such that any two edges belong to different graphs of $\mathcal{G}.$ In this paper, by adopting the technique of bi-shifting, we present tight sufficient conditions in terms of the spectral radius for a family $\mathcal{G}$ to admit a rainbow Hamilton path and cycle, respectively. Meanwhile, we completely characterize the corresponding spectral extremal graphs.

研究の動機と目的

• スペクトル半径を用いて二部グラフファミリにおける虹色 Hamilton 路経/回路の存在を動機づけて研究する。
• 虹色 Hamilton 路経と回路の厳密な十分条件をスペクトル半径で開発する。
• スペクトル半径の境界に等号を達成する極値グラフを特徴付ける。
• 虹色設定へシフティング/bi-shifting 手法を適用・適応する。

提案手法

• 虹色 Hamilton 性質を保ちながらグラフを変換する bi-shifting（および shifting）手法を採用する。
• エッジ数に基づく Nosal 型の界を用いて ρ(G) を界付けする。
• 公正な商行列と固有値挟み込みを用いてグラフ構造と ρ(G) を関連付ける。
• 平衡およびほぼ平衡の二部グラフに対して虹色 Hamilton 路経の厳密な十分条件を導出する。
• 等号を達成する極値グラフをスペクトル半径条件で特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二部グラフファミリに対して虹色 Hamilton 路経または回路の存在を保証するスペクトル半径条件は何か。
• RQ2 虹色 Hamiltonicity のスペクトル半径界を達成する極値二部グラフ構造は何か。
• RQ3 shifting/bi-shifting 操作はスペクトル制約下での虹色 Hamiltonian 構造の存在にどのように影響するか。
• RQ4 既知の（虹色でない） Hamiltonicity のスペクトル条件を二部グラフの虹色置換へ拡張できるか。

主な発見

• Theorem 1.3: For a 2n-1 sized family of balanced bipartite graphs with ρ(Gi) ≥ ρ(Kn,n−1 ∪ K1), a rainbow Hamilton path exists unless all Gi are isomorphic to Kn,n−1 ∪ K1.
• Theorem 1.4: For a 2n-2 sized family of nearly balanced bipartite graphs with ρ(Gi) ≥ ρ(Kn−1,n−1 ∪ K1), a rainbow Hamilton path exists unless all Gi are isomorphic to Kn−1,n−1 ∪ K1.
• Theorem 1.5 (cited): A spectral-radius condition on ρ(G) ≥ ρ(Bn^k) ensures a Hamilton cycle in a balanced bipartite graph with minimum degree δ(G)≥k.
• Theorem 1.6: For a balanced family of 2n graphs with ρ(Gi) ≥ ρ(K1,n−1 ⊎ ˆKn−1,1), a rainbow Hamilton cycle exists unless all Gi are isomorphic to K1,n−1 ⊎ ˆKn−1,1.
• The paper also provides a complete spectral-extremal characterization showing that the extremal graphs achieving bound are exactly the specified structured graphs (e.g., Qn^0, Tn^0).