[論文レビュー] Spectral radius minus average degree: a better bound

Felix Goldberg|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2014

Graph theory and applications参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、グラフの不規則性の指標であるスペクトル半径と平均次数の差（$\epsilon(G) = \rho(G) - \overline{d}$）の下界を改善する。初等的な行列および分散の不等式を用いて、Nikiforovが得た既存の最良の下界を厳密に上回る新しい下界を導出している。特に、$\Delta - \delta = 1$ である部分正則グラフにおいて、よりタイトな性能を示している。主な結果は、次数分散と最大次数を含む解析的に導出されたよりタイトな下界である。

ABSTRACT

Collatz and Sinogowitz had proposed to measure the departure of a graph $G$ from regularity by the difference of the (adjacency) spectral radius and the average degree: $ε(G)=ρ(G)-\frac{2m}{n}$. We give here new lower bounds on this quantity, which improve upon the currently known ones.

研究の動機と目的

• 「グラフの不規則性の指標」としての $\epsilon(G) = \rho(G) - \overline{d}$ の既存の下界を改善すること。
• Nikiforovの $\epsilon(G) \geq \frac{\operatorname{var}(G)}{\sqrt{8m}}$ よりもタイトな下界を初等的手段で提供すること。
• 従来の下界が弱すぎる部分正則グラフ（$\Delta - \delta = 1$）のケースに対処すること。
• $n$ および $\Delta$ を用いて、高・低部分正則グラフの明示的かつ改善された下界を導出すること。

提案手法

• コーシー＝シュワルツの不等式および符号なしラプラシアン行列のスペクトル半径の性質を用いて、新たな下界を導出する。
• 補題1（Hofmeister）および補題2（コーシー＝シュワルツ）を適用し、$\rho(G)$ を次数の二乗和に関連付ける。
• 補題3を用いて、次数分散 $\operatorname{var}(G)$ を $\frac{1}{n}\sum d_i^2 - \left(\frac{2m}{n}\right)^2$ として表現する。
• 補題4および補題5を用いて、$\sum d_i^2 \leq 2m\Delta$ および $\rho(Q) \leq 2\Delta$ を用いて符号なしラプラシアン $Q(G)$ のスペクトル半径を評価する。
• 部分正則グラフの場合、補題7（ウォーク数によるスペクトル半径下界）を適用し、$t_i = \sum_{j \sim i} d_j$ の構造を分析する。
• 代数的簡略化および $L(n,\Delta)$ の単調性解析を用いて、高・低部分正則ケースのタイトな下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Nikiforovの $\frac{\operatorname{var}(G)}{\sqrt{8m}}$ を超える $\epsilon(G) = \rho(G) - \overline{d}$ の下界を改善できるか？
• RQ2 新しい下界は、特に $\Delta - \delta = 1$ である部分正則グラフにおいてどのように性能を発揮するか？
• RQ3 $n$, $m$, $\Delta$ に依存するよりタイトな解析的下界が $\epsilon(G)$ に対して存在するか？
• RQ4 ウォークに基づく次数和を用いて、部分正則グラフのスペクトル半径をより正確に評価できるか？

主な発見

• 新しい下界 $\epsilon(G) \geq \frac{\operatorname{var}(G)\sqrt{n}}{\sqrt{8m\Delta}}$ は、$\sqrt{n} > \sqrt{8m\Delta}/\sqrt{8m} = \sqrt{\Delta}$ かつ $n > \Delta$ であるため、Nikiforovの $\frac{\operatorname{var}(G)}{\sqrt{8m}}$ を厳密に上回る。
• 高部分正則グラフ（$\Delta - \delta = 1$、1頂点が次数 $\Delta$）に対しては、$\epsilon(G) \geq \frac{n^2 - 2n + 3}{n^3 \Delta}$ という下界が導出され、従来の結果よりもタイトであることが示された。
• 低部分正則グラフ（$\Delta - \delta = 1$、1頂点が次数 $\Delta - 1$）に対しては、$\epsilon(G) \geq \frac{2n^2 - 4n - 3}{2n^3(\Delta - 1 + \frac{1}{\Delta})}$ という下界が確立された。
• $L(n,\Delta)$（$\rho^2 - \overline{d}^2$ を表す関数）が $\Delta$ に関して非増加であることが示され、最悪ケースの下界として $\Delta = n-2$ または $\Delta = n-1$ を用いることが可能になった。
• 高部分正則グラフの下界は $\epsilon(G) \geq \frac{1}{n^2}(2n - 4 + \frac{6}{n}) / (2\Delta)$ と表現可能であり、これは提示された式に簡略化される。
• 証明により、補題7を用いて $\rho \geq \sqrt{\frac{\sum t_i^2}{\sum d_i^2}}$ が示され、これによりウォーク数からのスペクトル半径下界が導出された。