[論文レビュー] Spectral radius, toughness and $k$-factor of graphs

Yuanyuan Chena, Huiqiu Lina+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2026

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ひとこと要約

この論文は、最小次数が少なくとも k の連結グラフに k-因子の存在を保証するスペクトル半径と辺条件を確立し、これらの結果を 1-タフネスおよび 1-結合性グラフへ拡張する。

ABSTRACT

A $k$-regular spanning subgraph of $G$ is called a $k$-factor. Fan, Lin and Lu [European J. Combin. 110 (2023) 103701] presented a tight sufficient condition in terms of the spectral radius for a connected 1-tough graph to contain a connected 2-factor (Hamilton cycle). Then it is interesting to consider the following problem: What is the spectral radius condition to guarantee the existence of a $k$-factor with $k\ge3$ in a connected 1-tough graph $G$ with $δ(G)\ge k$? In this paper, we completely solve this problem.

研究の動機と目的

• スペクトル半径と因子の存在を結びつけることで研究の動機づけを行う。
• ν(G) \\ge k を満たすグラフが k-因子を含むための十分なスペクトル半径条件を提供する。
• エッジ条件および結合/タフネス文脈への結果の拡張。
• 1-タフおよび 1-結合グラフにおける k=3 以上のときのスペクトル条件に関する未解決問題を解決する。

提案手法

• $[a,b]$-因子と $k$-因子を、次数制約を持つ遍歴サブグラフとして定義・使用する。
• ペロン-フロイネス固有値や固有ベクトル比較など、スペクトルグラフ理論の道具を適用する。
• 部分グラフのスペクトル半径と全体グラフとの関係を示す既知の補題を活用する。
• 極大反例を仮定して構造的制約を導出する極大グラフアプローチを用いる。
• 等式条件を特徴づけるために極大グラフ $G^{1}_{n,k}$ と $G^{2}_{n,k}$ を構築する。
• タフネス/結合数の概念をグラフ配置へ翻訳して系説を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結グラフで、 ho(G) がある界を上回ると、ν(G) \\ge k および \\delta(G) \\ge k のとき k-因子を含むためのスペクトル半径閾値は何か？
• RQ2 同じ次数仮定の下で、エッジ数または結合数条件が k-因子を保証するかどうか、そしてそれがスペクトル半径基準とどのように関連するか？
• RQ3 1-タフグラフおよび 1-結合グラフに対して、k////>=3 のときの k-因子の存在に関する結果はどうなるか？

主な発見

• 連結グラフで ρ(G) \\ge ρ(G^{1}_{n,k}) のとき、極端な同型以外は k-因子の存在に関するスペクトル半径条件の完全解を得る。
• 対応するエッジ条件: e(G) > \\binom{n-k-1}{2}+k(k+1)+k-1 のとき、同じ次数仮定の下で G は k-因子を含む。
• 1-タフ連結グラフに対する ρ 条件で k////>=3 のとき k-因子を保証し、極端なグラフとしては G^{2}_{n,k} に対して一意性が成り立つ。
• 1-結合グラフの系: ρ(G) \\ge ρ(G^{1}_{n,k}) なら k-因子が存在し、k////>=2 の場合にも同様で、等号は G \\cong G^{1}_{n,k} のときのみ。
• 本研究は以前の Hamilton性（2-因子）に関する結果を一般化し、タフネスおよび結合制約下での k-因子にスペクトルアプローチを拡張した。