[論文レビュー] Spectral Representations of Graphons in Very Large Network Systems Control

Shuang Gao, Peter E. Caines|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2019

Graph theory and applications参考文献 43被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、大規模なネットワークの極限対象であるグラフンのスペクトル表現を開発し、無限次元のネットワークシステムの低複雑性制御を可能にする。固有関数展開およびグラフン作用素のスペクトル分解を活用することで、可制御性基準を確立し、疫病制御への応用を実施。その結果、大規模ネットワークにおける効果的な制御には、低次元のスペクトル近似で十分であることが示された。

ABSTRACT

Graphon-based control has recently been proposed and developed to solve control problems for dynamical systems on networks which are very large or growing without bound (see Gao and Caines, CDC 2017, CDC 2018). In this paper, spectral representations, eigenfunctions and approximations of graphons, and their applications to graphon-based control are studied. First, spectral properties of graphons are presented and then approximations based on Fourier approximated eigenfunctions are analyzed. Within this framework, two classes of graphons with simple spectral representations are given. Applications to graphon-based control analysis are next presented; in particular, the controllability of systems distributed over very large networks is expressed in terms of the properties of the corresponding graphon dynamical systems. Moreover, spectral analysis based upon real-world network data is presented, which demonstrates that low-dimensional spectral approximations of networks are possible. Finally, an initial, exploratory investigation of the utility of the spectral analysis methodology in graphon systems control to study the control of epidemic spread is presented.

研究の動機と目的

• 非常に大規模または無限のネットワークシステムの制御を目的としたグラフンのスペクトル表現の開発。
• スペクトル分解を用いたグラフンに基づく動的システムの可制御性の分析。
• 低次元スペクトル近似が実世界のネットワークデータに対して有効であることを実証すること。
• スペクトルグラフン制御を疫病の広がり抑制に応用することの探求。

提案手法

• 大規模ネットワークをモデル化するために、L2[0,1] 上のコンパクトで自己随伴なヒルベルト＝シュミット作用素としてのグラフン作用素を用いる。
• スペクトル定理を適用し、グラフン作用素を固有関数と固有値に分解する。
• 固有関数のフーリエに基づく近似を用いて、低ランクのスペクトル表現を構築する。
• スペクトル領域におけるリカッチ型方程式を用いて、グラフンシステムの最適制御則を導出する。
• 固有値および固有関数の収束を介して、有限ネットワークの制御解をグラフン極限に適応する。
• 実際のネットワークデータ（例：USAir97）に対してフレームワークを検証し、メタポピュレーション型疫病モデルに適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフンのスペクトル表現は、大規模ネットワークシステムの可制御性解析を可能にするか？
• RQ2 低次元スペクトル近似は、実世界の大規模ネットワークをどの程度正確に表現できるか？
• RQ3 分布型ダイナミクスを持つシステムにおいて、グラフン極限における最適制御則の構造はいかなるものか？
• RQ4 有限ネットワークの固有値および固有関数は、どのように制限的グラフンのそれらに収束するか？
• RQ5 スペクトルグラフン制御は、大規模ネットワークにおける疫病の広がり抑制に実際に効果的に応用可能か？

主な発見

• グラフン作用素のスペクトル分解により、固有関数および固有値を用いてシステムのダイナミクスを表現することで、正確な可制御性解析が可能になる。
• 実世界のネットワーク（例：USAir97）の低次元スペクトル近似は、固有値および固有関数の収束が示されることから有効である。
• グラフンシステムの最適制御則はスペクトル形式で導出され、その解はグラフンの固有値および固有関数に依存する。
• 疫病制御のケースでは、最適制御作用は主要な固有方向への射影の線形結合として表現される。
• 有限ネットワークからグラフン極限への移行において、制御則の構造が保存され、固有値 µℓ/N が極限で λℓ に収束する。
• 数値シミュレーションにより、2つの主要な固有方向の制御で十分に疫病プロセスを制御できることを確認し、低次元近似の有効性が検証された。