[論文レビュー] Spectral shift function for perturbed periodic Schroedinger operators. The large-coupling constant limit case

Mouez Dimassi, Maher Zerzeri|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、周期的シュレーディンガー作用素 $P_\mu = P_0 + \mu W(x)$ の大結合定数極限 ($\mu \to \infty$) における摂動に対して、スぺクトルシフト関数の導関数 $\xi'_{\mu}(\lambda)$ について、$\mu^{-1/\delta}$ の累乗における完全な漸近展開を確立する。半古典的解析とトレースクラス摂動論を用いて、$W(x) \sim w_0(x/|x|)|x|^{-\delta}$ かつ $\delta > n$ の条件下で、$\xi'_{\mu}(\lambda)$ が点ごとの漸近展開をもつことを証明する。これは、非周期的ケースにおける既存結果を周期的設定に一般化するものである。

ABSTRACT

In the large coupling constant limit, we obtain an asymptotic expansion in powers of $μ^{-\frac{1}δ}$ of the derivative of the spectral shift function corresponding to the pair $\big(P_μ=P_0+μW(x),P_0=-Δ+V(x)\big),$ where $W(x)$ is positive, $W(x)\sim w_0(\frac{x}{|x|})|x|^{-δ}$ near infinity for some $δ>n$ and $w_0\in {\mathcal C}^\infty(\mathbb S^{n-1};\,\mathbb R_+).$ Here $\mathbb S^{n-1}$ is the unite sphere of the space $\mathbb R^n$ and $μ$ is a large parameter. The potential $V$ is real-valued, smooth and periodic with respect to a lattice $Γ$ in ${\mathbb R}^n$.

研究の動機と目的

• 非周期的シュレーディンガー作用素に対して知られているスぺクトルシフト関数（SSF）の漸近的結果を、大結合定数極限において周期的シュレーディンガー作用素へ拡張すること。
• 摂動 $W(x)$ の減少性および滑らかさの条件の下で、$\xi'_{\mu}(\lambda)$、つまりSSFの導関数について、$\mu^{-1/\delta}$ の累乗における完全な漸近展開を確立すること。
• $P_0 = -\Delta + V(x)$ で $V$ が滑らかで周期的であり、$W(x)$ が正で $|x|^{-\delta}$ のように無限遠で減少する条件の下で、$P_\mu = P_0 + \mu W(x)$ のスぺクトルシフト関数を分析すること。
• トレースクラスおよびリゾルベントの推定が有効に適用できる領域に問題を還元するため、$Q = H(\mu^{-1/\delta})$ という半古典的基準作用素を構築すること。

提案手法

• 大-$\mu$ 行動をモデル化するため、半古典的基準作用素 $Q = H(\mu^{-1/\delta})$ の構築。
• 極限吸収原理とリゾルベント恒等式を用いて、トレースクラス摂動論を通じてスぺクトルシフト関数を制御する。
• 擬微分作用素の計算および $\langle hx \rangle$ 重みを用いた重み付き推定を用いて、作用素ノルムおよびトレースクラスの性質を制御する。
• リゾルベント差のトレースを二つの部分 ($I_1, I_2$) に分解し、各部分の推定を、作用素間の距離条件および $\widetilde{W}$ の台の性質に基づいて行う。
• トレースの循環性および二進分解技術を用いて、スペクトルパラメータ $z$ に依存しない一様なトレースノルムの上界を得る。
• $\mathcal{O}(h^\infty)$ の誤差項を有するトレース項の確立により、$\xi'_{\mu}(\lambda)$ の弱い漸近展開が得られ、その後点ごとの漸近展開が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動された周期的シュレーディンガー作用素に対して、大結合定数極限におけるスぺクトルシフト関数の導関数 $\xi'_{\mu}(\lambda)$ について、$\mu^{-1/\delta}$ の累乗における完全な漸近展開を確立できるか。
• RQ2 背景ポテンシャル $V(x)$ の周期性は、非周期的ケースと比較してスぺクトルシフト関数の漸近的構造にどのように影響を与えるか。
• RQ3 摂動 $W(x)$ の減少率 $\delta > n$ が、SSFの導関数の漸近的スケーリングを決定する上で果たす役割は何か。
• RQ4 半古典的手法とトレースクラス摂動論は、大-$\mu$ 境界で $\xi'_{\mu}(\lambda)$ の点ごとの漸近的性質を導くために適応可能か。

主な発見

• スぺクトルシフト関数の導関数 $\xi'_{\mu}(\lambda)$ は、$\mu \to \infty$ のとき、$\mu^{-1/\delta}$ の累乗における完全な漸近展開をもつ。
• 展開の主要項は、無限遠における $W(x)$ の角度的挙動 $w_0(\frac{x}{|x|})$ に符号化されており、これに依存する。
• 漸近展開の誤差は、任意の $k \geq 0$ に対して $\mathcal{O}(\mu^{-(k+1)/\delta})$ のオーダーであり、コンパクト区間上で $\lambda$ に一様である。
• 証明は、半古典的基準作用素 $Q = H(\mu^{-1/\delta})$ の構築に依存しており、$\xi'_{\mu}(\lambda) = \xi'_h(\lambda) + \mathcal{O}(h^\infty)$ が $\lambda \in [a,b]$ に一様に成り立つことを示す。
• リゾルベント差のトレース推定は、重み付きノルムおよび擬微分作用素の計算により制御され、スペクトルパラメータに一様な境界を保証する。
• 本手法は、非周期的シュレーディンガー作用素に対する既存結果を、$V(x)$ が滑らかで格子 $\Gamma \subset \mathbb{R}^n$ に関して周期的である周期的ケースへ拡張する。