[論文レビュー] Spectral statistics for random Schr\\"odinger operators in the localized regime

François Germinet, Frédéric Klopp|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 41被引用数 49

ひとこと要約

この論文は、ランダムシュレーディンガー作用素の局在的領域において、固定エネルギー E のまわりの小さなエネルギー区間内の固有値が、大体積極限においてポアソン点過程に収束することを確立している。状態密度にやや厳しい条件を課すと、大きな立方体に制限された固有値は漸近的に同分布かつ独立に、すべてのスケールにおいて普遍的なポアソン統計が成り立つ。

ABSTRACT

We study various statistics related to the eigenvalues and eigenfunctions of random Hamiltonians in the localized regime. Consider a random Hamiltonian at an energy $E$ in the localized phase. Assume the density of states function is not too flat near $E$. Restrict it to some large cube $\\Lambda$. Consider now $I_\\Lambda$, a small energy interval centered at $E$ that asymptotically contains infintely many eigenvalues when the volume of the cube $\\Lambda$ grows to infinity. We prove that, with probability one in the large volume limit, the eigenvalues of the random Hamiltonian restricted to the cube inside the interval are given by independent identically distributed random variables, up to an error of size an arbitrary power of the volume of the cube. As a consequence, we derive * uniform Poisson behavior of the locally unfolded eigenvalues, * a.s. Poisson behavior of the joint distibutions of the unfolded energies and unfolded localization centers in a large range of scales. * the distribution of the unfolded level spacings, locally and globally, * the distribution of the unfolded localization centers, locally and globally.

研究の動機と目的

• ランダムシュレーディンガー作用素の局在的相における固有値および固有関数の統計的挙動を理解すること。
• 熱力学的極限における unfolded 固有値および局在化中心の連合統計を分析すること。
• 局在的領域において、レベル間隔分布を厳密に導出し、それがポアソン型の極限に収束することを示すこと。
• 固有値統計が、系サイズに比例する小さな誤差を除き、漸近的に独立同分布であることを確立すること。
• 局在化中心の統計（局所的および大域的）が、すべてのスケールにおいてもポアソン的挙動に収束することを示すこと。

提案手法

• 解析は、Z^d 上の離散アンドリソンモデルに i.i.d. で滑らかな確率的ポテンシャルを課し、大きな立方体領域 Λ に制限して行われる。
• 固有値は、E を中心とする小さなエネルギー区間 I_Λ 内で調べられ、|Λ| → ∞ のとき無限に多くの準位を含む。
• スペクトル局在性の推定、特に固有関数の指数的減衰およびリゾルベントの有界性を用いて、固有値間の相関を制御する。
• 彼らは、unfolded 固有値および局在化中心の連合分布が積測度に収束することを示すことで、固有値統計がポアソン点過程に収束することを証明する。
• 主な道具は、固有関数重ね合わせのモーメントの有界性および、||φ_j,Λ||_x ||φ_j,Λ||_y ≤ e^{-|x-y|^ξ}（ξ < 1）の形の指数的減衰推定である。
• 証明は、局在性の性質とスペクトル統計を結ぶ階層的事前推定（(1)–(11) と表記）に依存し、最終的にレベル間隔分布が g(x) = ∫_Σ e^{-ν(λ)x} ν(λ) dλ に収束することを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムシュレーディンガー作用素の局在的領域において、熱力学的極限において固有値はポアソン点過程のように振る舞うか？
• RQ2 unfolded 固有値および unfolded 局在化中心の連合分布は、すべてのスケールにおいて漸近的にポアソン的か？
• RQ3 局在的相における連続固有値間のレベル間隔の極限分布は何か？
• RQ4 空間的およびエネルギー的に適切に unfold されたとき、固有関数の局在化中心はどのように分布するか？
• RQ5 スペクトル統計の収束はエネルギーに一様に成立し、系サイズのさまざまなスケールにわたっても成り立つか？

主な発見

• |Λ| → ∞ のとき、DLS(x; ω, Λ) は確率1で g(x) = ∫_Σ e^{-ν(λ)x} ν(λ) dλ に一様収束する。
• 区間 I_Λ 内の固有値は、任意の p > 0 に対して |Λ|^{-p} のオーダーの誤差を除き、漸近的に i.i.d. な確率変数である。
• unfolded 固有値および unfold ed 局在化中心の連合分布は、エネルギーおよび空間の両方においてほとんど確実にポアソン過程に収束する。
• unfolded レベル間隔の分布は、系サイズの局所的および大域的両スケールにおいて漸近的にポアソン的である。
• unfolded 局在化中心間隔の分布もポアソン過程に収束し、空間的局在化が相関を持たないことを示している。
• 収束はエネルギーに一様であり、すべてのスケールで成り立ち、誤差項は |Λ| の任意のべきよりも速く減少する。