[論文レビュー] Spectral theory and special functions

Erik Koelink|ArXiv.org|Jul 5, 2001

Mathematical functions and polynomials参考文献 23被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、ℓ²(ℤ≥0) および ℓ²(ℤ) 上の自己共役ヤコビ作用素を用いてスペクトル理論を適用し、特殊関数の直交性関係を導出する。スペクトル分解を用いてファヴァールの定理を証明し、マイクサー、マイクサー＝ポラーツェク、および q-超幾何差分作用素のスペクトル測度を明示的に計算することで、基本超幾何級数に対する一般化された直交性関係が得られる。

ABSTRACT

A short introduction to the use of the spectral theorem for self-adjoint operators in the theory of special functions is given. As the first example, the spectral theorem is applied to Jacobi operators, i.e. tridiagonal operators, on l^2(N), leading to a proof of Favard's theorem stating that polynomials satisfying a three-term recurrence relation are orthogonal polynomials. We discuss the link to the moment problem. In the second example, the spectral theorem is applied to Jacobi operators on l^2(Z). We discuss the theorem of Masson and Repka linking the deficiency indices of a Jacobi operator on l^2(Z) to those of two Jacobi operators on l^2(N). For two examples of Jacobi operators on l^2(Z), namely for the Meixner, respectively Meixner-Pollaczek, functions, related to the associated Meixner, respectively Meixner-Pollaczek, polynomials, and for the second order hypergeometric q-difference operator, we calculate the spectral measure explicitly. This gives explicit (generalised) orthogonality relations for hypergeometric and basic hypergeometric series.

研究の動機と目的

• 自己共役作用素のスペクトル理論と直交多項式および特殊関数の理論との間の厳密な関係を確立すること。
• ℓ²(ℤ≥0) 上の非有界ヤコビ作用素に対するスペクトル定理を用いて、三項再帰関係と直交性を結びつけるファヴァールの定理を証明すること。
• ℓ²(ℤ) 上の二重無限ヤコビ作用素へのスペクトル解析を拡張し、マッソン＝レプカの定理を用いて、ℓ²(ℤ≥0) 上の作用素の欠損指数と ℓ²(ℤ) 上の作用素の欠損指数との関係を明らかにすること。
• マイクサー関数およびマイクサー＝ポラーツェク関数、および二階 q-差分作用素の明示的スペクトル測度を計算し、新たな直交性関係を得ること。
• q-超幾何差分作用素のスペクトル測度が離散的および連続的成分を併せ持つこと、および q→1 の極限において古典的特殊関数に収束することを示すこと。

提案手法

• ℓ²(ℤ≥0) 上の三重対角ヤコビ作用素に対して非有界自己共役作用素のスペクトル定理を適用し、三項再帰関係を通じて直交多項式と結びつける。
• ハムバーグのモーメント問題の枠組みを用いて、ヤコビ作用素に対応する測度を特徴づけ、ファヴァールの定理とスペクトル分解の同値性を確立する。
• マッソン＝レプカの定理を用いて、ℓ²(ℤ) 上のヤコビ作用素の自己共役性および欠損指数が、ℓ²(ℤ≥0) 上の二つの半直線作用素のそれと関係することを示す。
• グリーン関数と留数解析を用いて、マイクサー関数のスペクトル測度を明示的に計算し、離散的スペクトル測度が得られることを示す。
• 第二階 q-超幾何差分作用素を解析する際、固有関数を基本超幾何級数として導出し、基本解の漸近的挙動を用いてスペクトル測度を計算する。
• q↑1 の極限遷移を用いて、q-超幾何スペクトル測度が古典的マイクサー関数の既知のスペクトル測度に一致することを確認し、極限における直交性関係の整合性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三項再帰関係を満たす多項式が直交することを示すために、スペクトル定理をどのように用いることができるか？
• RQ2 ℓ²(ℤ) 上のヤコビ作用素の欠損指数と、その半直線制限（ℓ²(ℤ≥0) 上）の欠損指数との正確な関係は何か？
• RQ3 ℓ²(ℤ) 上のヤコビ作用素から生じるマイクサー関数のスペクトル測度の明示的形は何か？
• RQ4 第二階 q-超幾何差分作用素のスペクトル測度は、離散的および連続的成分にどのように分解されるか？
• RQ5 q→1 の極限において、q-超幾何級数の直交性関係がマイクサー関数のそれと一致するか？

主な発見

• ファヴァールの定理はスペクトル分解を用いて証明された：三項再帰関係を満たす ℓ²(ℤ≥0) 上のヤコビ作用素は、直交多項式の族を生成する。
• マイクサー関数のスペクトル測度は完全に離散的であり、留数を用いて明示的に計算され、離散質量点の和を含む直交性関係が得られる。
• q-超幾何差分作用素に対しては、スペクトル測度に連続的成分（[0,π] 上の積分）と離散的成分（極の和）が存在し、混合された直交性関係が得られる。
• q-超幾何スペクトル測度の q↑1 の極限遷移は、既知のマイクサー関数のスペクトル測度を再現し、q→1 の極限における一貫性が確認される。
• 基本解 F_k(y) の漸近的挙動を用いて、c > q² の場合でさえも q-差分作用素の自己共役拡張の存在を検証し、スペクトル分解の有効性を裏付ける。
• q-作用素の離散固有値は、s(q^{p-1+ε} - 1)/(1−q) + s^{-1}(q^{1−ε−p} - 1)/(1−q) で与えられ、q↑1 の極限で (p+ε−1)(s^{-1}−s) に収束し、マイクサーの離散固有値と一致する。