[論文レビュー] Spectral Theory of a Neumann–Poincare-Type Operator and Analysis of Cloaking Due to Anomalous Localized Resonance

Ciraolo, G.|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 47被引用数 205

ひとこと要約

本稿は、プラズモニックシェルを有する球対称な2次元および3次元のコーティング構造における異常局在共鳴によるクローキング（CALR）を検討する。Neumann-Poincaré型作用素のスペクトル解析を用いて、2次元ではシェルの実数的誘電率が−1のときCALRが発生するが、3次元では材料パラメータに関わらず発生しないことが証明される。その理由は、固有値の減少率の違いに起因する：2次元では指数関数的減少（爆発を可能にする）、3次元では遅い（1/n）減少（爆発を防ぐ）ためである。

ABSTRACT

If a body of dielectric material is coated by a plasmonic structure of negative dielectric constant with nonzero loss parameter, then cloaking by anomalous localized resonance (CALR) may occur as the loss parameter tends to zero. The aim of this paper is to investigate this phenomenon in two and three dimensions when the coated structure is radial, and the core, shell and matrix are isotropic materials. In two dimensions, we show that if the real part of the permittivity of the shell is -1 (under the assumption that the permittivity of the background is 1), then CALR takes place. If it is different from -1, then CALR does not occur. In three dimensions, we show that CALR does not occur. The analysis of this paper reveals that occurrence of CALR is determined by the eigenvalue distribution of the Neumann-Poincar\'e-type operator associated with the structure.

研究の動機と目的

• . 本稿の目的は、径対称な2次元および3次元のコーティング構造における異常局在共鳴によるクローキング（CALR）が、どのような条件下で発生するかを特定することである。
• . 本稿は、CALRの発生または阻止に寄与するNeumann-Poincaré（NP）作用素の固有値分布の役割を調査する。
• . 本稿の目的は、材料の誘電率と幾何学的形状に基づいた、CALRの発生または非発生を明確に示す基準を確立することである。
• . 本稿は、同様の物理的設定のもとで2次元では可能だが3次元では不可能なCALRの理由を明確にすることを目的とする。
• . 本稿は、既存の2次元におけるCALRの結果（ǫc = −ǫs = 1）を任意のǫcおよびǫsへ一般化し、3次元の状況を解明することを目的とする。

提案手法

• . 分析では、界面ΓiおよびΓeにおけるニュートン型および単層ポテンシャルの和として電界ポテンシャルVδを表現するための層ポテンシャル定式化が用いられる。
• . 界面を越えた境界条件は、Neumann-Poincaré型作用素K∗を含む境界積分方程式系に簡略化される。
• . 本稿の中心的な手法はNP作用素のスペクトル解析である：円形（2次元）および球形（3次元）幾何における固有値を明示的に計算する。
• . 2次元では、固有値がn = 1, 2, ...に対して±ρn（ρ = ri/re）となる。このとき、指数関数的減少が生じる。
• . 3次元では、固有値が±(1/2(2n+1))√(1+4n(n+1)ρ²ⁿ⁺¹)として与えられ、1/nの速度で減少する。
• . δ → 0におけるエネルギー散逸Eδ = ∫Ω\D δ|∇Vδ|² dxの挙動を解析し、爆発が発生するかどうかでCALRの有無を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . 2次元において、シェル誘電率ǫs ≠ −1であっても、ǫc = 1のときCALRは発生するのか？
• RQ2 . 3次元における等方的・径対称なコーティング球体において、ǫcおよびǫsにかかわらずCALRが発生する条件は何か？
• RQ3 . NP作用素の固有値のスペクトル的分布が、CALRの発生または非発生をどのように決定づけるか？
• RQ4 . 2次元において、CALRが発生するか否かを分ける臨界半径r∗が存在するか？また、そのr∗はǫcおよびǫsにどのように依存するか？
• RQ5 . ソースのポテンシャルのフーリエ係数のギャップ性質が、CALRの発生を予測できるか？

主な発見

• . 2次元では、シェルの誘電率の実部ǫs = −1である場合に限り、CALRが発生する。ǫcの値に関わらず成立する。
• . ǫs = −1かつǫc = 1の場合、臨界半径r∗はr∗ = √(re³/ri)で与えられ、既存の結果と一致する。
• . ǫs = −1かつǫc ≠ 1の場合、臨界半径はr∗ = re²/riであり、CALRはr∗内に支持を持つソースに対して発生する。
• . 3次元では、シェルが定数かつ等方的誘電率を有する限り、任意のǫcおよびǫsに対してCALRは発生しない。これは、NP作用素の固有値が1/nの速度で減少するためである。
• . すべてのf ∈ L²(R³)に対して、エネルギー散逸Eδはδに関して一様に有界であり、したがって爆発は発生せず、結果としてCALRは発生しない。
• . スペクトルの違い（2次元では指数関数的減少、3次元では多項式的減少）が、この二元性を説明する：CALRに必要な場の爆発を可能にするのは、指数関数的減少に限る。