[論文レビュー] Spectral Theory of Elliptic Operators in Exterior Domains

Fritz Gesztesy, M. M. Malamud|ArXiv.org|Oct 10, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、境界三重項と作用素値ウェイル–ティチヤーシュ関数を用いて、外部領域における2階以上の楕円型作用素のスペクトル理論枠組みを構築する。リゾルベント差のトレースクラス性を確立し、ディリクレ実現のスペクトルギャップにおける自己共役拡大の固有値の数え上げ公式を導出し、ヴィシク、パヴツナー、ビルマン、グルーブの古典的結果を拡張する。

ABSTRACT

We consider various closed (and self-adjoint) extensions of elliptic differential expressions of the type $\cA=\sum_{0\le |α|,|β|\le m}(-1)^αD^αa_{α, β}(x)D^β$, $a_{α, β}(\cdot)\in C^{\infty}({\overlineΩ})$, on smooth (bounded or unbounded) domains in $\bbR^n$ with compact boundary. Using the concept of boundary triples and operator-valued Weyl-Titchmarsh functions, we prove various trace ideal properties of powers of resolvent differences of these closed realizations of $\cA$ and derive estimates on eigenvalues of certain self-adjoint realizations in spectral gaps of the Dirichlet realization. Our results extend classical theorems due to Visik, Povzner, Birman, and Grubb.

研究の動機と目的

• 無限大領域における楕円型作用素の古典的スペクトル理論結果を、拡張理論からの現代的ツールを用いて拡張すること。
• 外部領域における滑らかで有界な係数をもつ楕円型微分作用素の閉かつ自己共役拡大を分析すること。
• 同一作用素の異なる実現間のリゾルベント差のトレースクラス性を導出すること。
• 自己共役拡大のディリクレ実現のスペクトルギャップにおける固有値の数を計算すること。
• 異なる楕円型実現間で絶対連続スペクトルがユニタリ同値であることを確立し、スペクトル安定性を保証すること。

提案手法

• 最小作用素の閉拡大をパrameter化するために境界三重項および関連する作用素値ウェイル–ティチヤーシュ関数の概念を用いる。
• 正則化されたグリーンの公式と強制的推定を用いて、非有界領域における境界値問題の適切な定式化を保証する。
• 境界三重項による対称的および自己共役拡大の理論を適用し、トレースクラスにおけるリゾルベント差の特徴づけを行う。
• スペクトルギャップにおけるスペクトル的性質を分析するために、作用素 $ T(z) = \bar{T}_0(z) $ を導入する。ここで $ T_0(z) = \tilde{\theta}(z) - \tilde{\theta}(0) $ である。
• パラメータ $ \tilde{\theta}(z) $ と境界作用素 $ K $ を含む摂動された恒等作用素のインデックスを用いて、ギャップ $ (\beta - \nu, \beta) $ 内の固有値数の公式を導出する。
• スペクトルギャップ内の固有値がギャップの左端点に集積しないことを証明し、ギャップの有界部分区間における有限固有値数え上げを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界三重項とウェイル–ティチヤーシュ関数を用いて、外部領域における楕円型作用素のスペクトル的性質を体系的に分析するにはどうすればよいか？
• RQ2 自己共役拡大のリゾルベント差がどのようなトレースクラス性を有するか？
• RQ3 一般の自己共役拡大に対して、ディリクレ実現のスペクトルギャップにおける固有値の数をどのように計算できるか？
• RQ4 異なる楕円型実現間で、絶対連続スペクトルがユニタリ同値であるための条件は何か？
• RQ5 スペクトルギャップ内の固有値が端点に集積する可能性はあるか、その場合どのような制約下で成立するか？

主な発見

• 同一作用素の2つの自己共役拡大のリゾルベント差は、関連する境界作用素 $ K $ がコンパクトであればトレースクラスに属する。
• 任意の2つの楕円型実現 $ A_K $ と $ \tilde{A}_B $ の絶対連続部はユニタリ同値であり、$ \rho_{\text{ac}}(A_K) = \rho_{\text{ac}}(\tilde{A}_B) $ が成り立つ。
• ディリクレ実現 $ \tilde{A}_{\tilde{\theta}} $ の有限スペクトルギャップ $ (\beta - \nu, \beta) $ に対して、$ A_K $ の $ (\beta - \nu, \beta) $ 内の固有値数は有限であり、$ \tilde{\theta}(z) $ と $ K $ を含むスペクトルカウントの差として与えられる。
• $ \nu_0 > 0 $ が存在して、$ E_{A_K}((\beta - \nu_0, \beta)) = 0 $ が成り立つ。これはギャップの左端点に固有値が集積しないことを意味する。
• $ A_K $ の $ (\beta - \nu, \beta) $ 内の固有値数は、$ \nu_{(-\nu, 0)}(I + \theta^{-1/2}(K + T(\beta - \nu))\theta^{-1/2}) - \nu_{(-\nu, 0)}(I + \theta^{-1/2}(K + T(\beta - \nu))\theta^{-1/2}) $ として明示的に計算可能であり、$ T(z) $ はリゾルベント集合内で正則である。
• 本結果は、パヴツナー、ビルマン、グルーブの先行研究を一般化・強化し、特に $ \text{L}^2(\text{R}^3) $ における2階作用素およびロビン型境界条件に対して成立する。