[論文レビュー] Spectral Theory of Multiple Intervals

Palle E. T. Jørgensen, Steen Pedersen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2012

Numerical methods in inverse problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\Omega = \mathbb{R}$ から有限個の互いに交わらない閉区間を除いた空間上の $L^2(\Omega)$ 上の自己共役作用素について、$U(n)$ に属するユニタリ行列を用いて境界条件をパラメータ化することで、スペクトル理論のモデルを構築する。スペクトル分解、一般化固有関数、散乱係数の明示的公式を提供し、束縛状態およびトラップモードに対応する埋め込まれた点スペクトルを特定する。固有値の重複度は区間の長さとユニタリパラメータによって決定される。

ABSTRACT

We present a model for spectral theory of families of selfadjoint operators, and their corresponding unitary one-parameter groups (acting in Hilbert space.) The models allow for a scale of complexity, indexed by the natural numbers $\mathbb{N}$. For each $n\in\mathbb{N}$, we get families of selfadjoint operators indexed by: (i) the unitary matrix group U(n), and by (ii) a prescribed set of $n$ non-overlapping intervals. Take $Ω$ to be the complement in $\mathbb{R}$ of $n$ fixed closed finite and disjoint intervals, and let $L^{2}(Ω)$ be the corresponding Hilbert space. Moreover, given $B\in U(n)$, then both the lengths of the respective intervals, and the gaps between them, show up as spectral parameters in our corresponding spectral resolutions within $L^{2}(Ω)$. Our models have two advantages: One, they encompass realistic features from quantum theory, from acoustic wave equations and their obstacle scattering; as well as from harmonic analysis. Secondly, each choice of the parameters in our models, $n\in\mathbb{N}$, $B\in U(n)$, and interval configuration, allows for explicit computations, and even for closed-form formulas: Computation of spectral resolutions, of generalized eigenfunctions in $L^{2}(Ω)$ for the continuous part of spectrum, and for scattering coefficients. Our models further allow us to identify embedded point-spectrum (in the continuum), corresponding, for example, to bound-states in scattering, to trapped states, and to barriers in quantum scattering. The possibilities for the discrete atomic part of spectrum includes both periodic and non-periodic distributions.

研究の動機と目的

• 自己共役拡大の体系的スペクトル理論を、$\Omega$ が $\mathbb{R}$ から $n$ 個の互いに交わらない閉区間を除いた空間における $L^2(\Omega)$ 上の運動量作用素 $d/dx$ に対して開発すること。
• 得られる自己共役作用素のスペクトル（連続的、離散的、埋め込まれた点スペクトル）を、区間の長さ、ギャップ、および $U(n)$ に属するユニタリパラメータの観点から特徴付けること。
• 連続スペクトルにおける一般化固有関数およびスペクトル分解の明示的、閉形式の式を提供すること。
• 量子的束縛状態、トラップモード、散乱系における共鳴状態に対応する埋め込まれた点スペクトルを特定すること。
• ユニタリ拡大と境界条件のパラメータ化を用いて、散乱係数の計算フレームワークを確立し、固有値の重複度を分析すること。

提案手法

• 欠損指数理論と $U(n)$ に属するユニタリ境界条件を用いて、$L^2(\Omega)$ 上の運動量作用素 $d/dx$ の自己共役拡大をモデル化すること。
• 実数直線上の直接積分分解を用いてスペクトル分解を表現し、重複度はユニタリパラメータ $B \in U(n)$ によって決定されることを示すこと。
• 指数関数 $e^{i\lambda x}$ の重ね合わせとして $L^2(\Omega)$ 内の一般化固有関数を構成し、境界振幅係数 $A_{\pm\infty}, A_{j,k}$ を用いて、ユニタリ一致条件 $B D_r(\lambda) \mathbf{A} = D_s(\lambda) \mathbf{A}$ を満たすようにすること。
• ユニタリ拡大理論を用いて、自己共役作用素のスペクトル性質と、$\ell^2$ 上で作用するユニタリパラメータ $B$ のスペクトルとの関係を関係づける。特に $B$ が対角またはブロック対角である場合に注目する。
• Lax-Phillipsの移動表現フレームワークを用いて、ユニタリ1パラメータ群 $U(t)$ を時間発展と解釈し、スペクトルの重複度が $B$ の構造と関連することを示すこと。
• ユニタリ群 $U_B(t)$ の分解を用いて退化した場合を分析し、スペクトル挙動を $B$ の構造と結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$ 個の互いに交わらない区間の長さとそれらの間のギャップは、$L^2(\Omega)$ 上の運動量作用素のスペクトル分解にどのように影響するか？
• RQ2 ユニタリ行列 $B \in U(n)$ が、自己共役拡大のスペクトル、特に埋め込まれた点質量を決定づける役割を果たすのはどのようなものか？
• RQ3 このような作用素の連続スペクトルにおける一般化固有関数について、明示的閉形式の式を導出できるか？
• RQ4 どのような条件下で作用素が埋め込まれた点スペクトルを有し、固有値の重複度はどのように決定されるか？
• RQ5 パラメータ $B$ の選択が、散乱係数および系内における束縛状態や共鳴状態の有無にどのように影響するか？

主な発見

• $B = \mathrm{diag}(1,1,\ldots)$ のとき、$P_B$ のスペクトルは実数直線全体であり、埋め込まれた点スペクトルは $\Lambda_p = \bigcup_{k=1}^\infty \frac{1}{\ell_k}\mathbb{Z}$ である。ここで $\ell_k$ は $k$ 番目の区間の長さを表す。
• 固有値 $\lambda \in \Lambda_p$ の重複度は、$\lambda \ell_k \in \mathbb{Z}$ を満たす区間 $k$ の個数に等しい。$\ell_k = 2^{-k}$ のとき、$0$ は無限大の重複度を有する。
• $\ell_k = 2^{-k}$ のとき、$2^k \mathbb{Z}_{\text{odd}}$ 内の固有値は重複度 $k$ を持ち、$0$ は無限大の重複度を有する。
• 無理数比 $\ell_k / \ell_j$ の場合、$0$ を除くすべての固有値は重複度1であり、$0$ は無限大の重複度を有する。
• $B = \mathrm{diag}(e(\theta_k))$ のとき、埋め込まれた点スペクトルは $\Lambda_p = \bigcup_{k=1}^\infty \left( \frac{\theta_k}{\ell_k} + \frac{1}{\ell_k}\mathbb{Z} \right)$ に変化し、重複度は $\lambda \ell_k - \theta_k \in \mathbb{Z}$ を満たすか否かによって決定される。
• $\ell^2$ 上の縮約ユニタリ $B'$ のスペクトルが単位円から離れている場合、$P_B$ は点スペクトルを有さない純粋な絶対連続スペクトルを持つ。