[論文レビュー] Spectral Transformation Algorithms for Computing Unstable Modes of Large Scale Power Systems

Licio H. Bezerra, Carlos Tomei|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2010

Matrix Theory and Algorithms参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、電力系統安定性解析に由来する大規模・スパース・非対称な行列ペンティルに対して、不安定固有値（正の実部）を計算するためのスペクトル変換アルゴリズムを、Möbius変換に基づいて提示する。初期ベクトルを新しいMöbius変換の拡張により前処理し、シフトインバース反復と組み合わせることで、不正な無限大への収束や既知の固有値への収束を抑制しながら、不安定モードへの収束を加速する。3156×3156の電力系統モデルにおいて、標準的なシフトインバース法と同等の計算コストで高い精度を達成した。

ABSTRACT

In this paper we describe spectral transformation algorithms for the computation of eigenvalues with positive real part of sparse nonsymmetric matrix pencils $(J,L)$, where $L$ is of the form $\pmatrix{M&0\cr 0&0}$. For this we define a different extension of Möbius transforms to pencils that inhibits the effect on iterations of the spurious eigenvalue at infinity. These algorithms use a technique of preconditioning the initial vectors by Möbius transforms which together with shift-invert iterations accelerate the convergence to the desired eigenvalues. Also, we see that Möbius transforms can be successfully used in inhibiting the convergence to a known eigenvalue. Moreover, the procedure has a computational cost similar to power or shift-invert iterations with Möbius transforms: neither is more expensive than the usual shift-invert iterations with pencils. Results from tests with a concrete transient stability model of an interconnected power system whose Jacobian matrix has order 3156 are also reported here.

研究の動機と目的

• 大規模・スパース・非対称な行列ペンティルから正の実部を有する固有値を効率的に計算する数値的アルゴリズムの開発を目的とする。
• 行列ペンティル (J, L) で L = diag(M, 0) の形をとる特異ペンティルに対するスペクトル変換において、無限大における固有値への不正な収束という課題に対処すること。
• Möbius変換の行列ペンティルへの新しい拡張を用いて初期ベクトルを前処理することで、不安定モードへの収束を向上させること。
• 既に計算済みの固有値への収束を抑制することで、複数の不安定モードを識別する際のロバストネスを向上させること。
• 実際の3156×3156の電力系統ヤコビ行列に対して、計算効率と精度を実証すること。

提案手法

• 特異な行列ペンティル (J, L) に対して、無限大における固有値の影響を抑えるために、Möbius変換の新しい拡張を提案する。
• Möbius変換されたシステムを用いたシフトインバース反復を用い、正の実部を有する固有値への収束を加速する。
• 初期ベクトルを Mσ に p 回乗算し、その後正規化することで前処理を実施する。
• 収束判定基準として残差に基づくものを利用し、許容誤差 tol = 1e-4 と 4 回ごとのシフト更新を採用する。
• Cayley変換をMöbius変換の特別な場合として採用し、不安定固有値の分離を最大化するように σ を選択する。
• 線形方程式系の解法に (J - aL) のLU分解を用い、計算コストをLU分解回数と行列-ベクトル積の回数で測定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異な行列ペンティル (J, L) に対して、無限大における固有値への収束を防ぐために、修正されたMöbius変換を定義できるか？
• RQ2 初期ベクトルをMöbius変換で前処理することで、大規模電力系統における不安定固有値への収束速度が顕著に向上するか？
• RQ3 Möbius変換は、反復計算中に既知の固有値への収束を効果的に抑制できるか？
• RQ4 提案されたスペクトル変換アルゴリズムの性能は、標準的なシフトインバース法と比較して、精度と計算コストの面で優れているか？
• RQ5 最適な σ 選択が、実際の3156×3156の電力系統モデルにおける不安定モードへの収束行動に与える影響は何か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、複素共役対 (-0.1144±10.617i) と (-0.1764±6.1231i) を含む3つの不安定固有値および3つの安定モードを、残差が1e-10未満の高精度で正しく計算した。
• σ=4.8334 で、変換された不安定固有値の大きさを最大にする最適値が得られ、p=80 で前処理を行った後、6～13反復で 0.1814±4.8323i の不安定対に収束した。
• 固有値抑制を用いることで、2番目の不安定モードを検出する反復回数が13回から7回に減少し、複数の不安定モードを識別する際の効率性が向上したことが示された。
• 提案手法の計算コストは、標準的なシフトインバース反復と同等であり、すべての不安定モードを計算するにあたり、15+1回のLU分解と356回の行列-ベクトル積（196+160）を要した。
• 最も高精度な固有値近似に対して、残差が1e-10のオーダーに達しており、高い数値的精度であることが示された。
• 結果に不正なモードが存在しなかったことから、無限大における収束および既知の固有値への収束が効果的に抑制されていることが確認された。