[論文レビュー] Spectrally negative Lévy processes with Parisian reflection below and classical reflection above

Florin Avram, José Luis Pérez+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2016

Probability and Risk Models参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、零より下でパリシア反射（Poisson到着時刻における資本注入）と、上部でクラシカルな反射（障害戦略による配当支払い）を併せ持つスペクトル的に負のLévy過程を研究する。スケール関数と局所的挙動理論を用いて、さまざまな殺去および退出条件のもとで、資本注入、配当、破産確率の明示的フラクチュエーション恒等式を導出する。これにより、古典的結果が正確なスケール関数表現を用いたパリシア観測フレームワークへと拡張される。

ABSTRACT

We consider a company that receives capital injections so as to avoid ruin. Differently from the classical bail-out settings where the underlying process is restricted to stay at or above zero, we study the case bail-out can only be made at independent Poisson times. Namely, we study a version of the reflected process that is pushed up to zero only on Poisson observation times at which the process is below zero. We also study the case with additional classical reflection above so as to model a company that pays dividends according to a barrier strategy. Focusing on the spectrally negative Lévy case, we compute, using the scale function, various fluctuation identities including capital injections and dividends.

研究の動機と目的

• 資本注入が連続的ではなく、Poisson到着時刻にのみ発生するという現実を反映するため、企業のリスク過程をモデル化すること。
• 古典的破産（0での到達）を超えて、レベル a < 0 での「絶対的破産」を導入することで、古典的破産理論を拡張すること。
• 無限時間枠および有限時間枠（退出時に殺去される）の両方のシナリオにおいて、資本注入および配当の期待割引値を計算すること。
• スペクトル的に負のLévy過程に混合反射メカニズムを組み込んだ統一的フレームワークを構築すること。
• 前人研究の近似手法に依存しない、有界変動および無限変動の場合の両方で正確な、非近似のフラクチュエーション恒等式を提供すること。

提案手法

• フラクチュエーション恒等式を導出するための中心的分析的ツールとして、スペクトル的に負のLévy過程のスケール関数を用いる。
• 近似スキームを用いた先行研究とは異なり、局所的挙動理論を適用して無限変動ケースの恒等式を導出する。
• パリシア反射設定における局所的挙動測度のスケール関数の簡略化公式を導入（定理5.1）。
• 上部から反射され、下部でパリシア反射される二重に反射された過程の類似公式を導出し、同様の計算を可能にする（定理6.1）。
• 強マルコフ性とラプラス指数の分解を用いて、過程とその反射メカニズムの同時動的挙動を扱う。
• 極限の議論と収束結果（例：a↓−∞ または b↑∞）を用いて、無限時間枠および殺去過程の恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 過程がPoisson観測による下部反射のみで反射される場合、資本注入の期待総割引値は何か？
• RQ2 過程が障害戦略による上部反射も併せ持つ場合、期待割引配当はどのように振る舞うか？
• RQ3 パリシア反射メカニズムのもとで、絶対的破産（a < 0 での到達）の確率および期待到達時間は何か？
• RQ4 過程が区間 [a,b]、[a,∞)、または (−∞,b] を退出する際に殺去される場合、フラクチュエーション恒等式はどのように変化するか？
• RQ5 無限変動ケースにおいて、近似手法に依存せずに資本注入および配当の値の正確な表現を導出できるか？

主な発見

• パリシア反射過程における期待総割引資本注入は、スケール関数 Zq,r(x) と hq,r(x) の組み合わせとして表現され、定理5.1における簡略化公式により明示的形で導出される。
• 無限変動ケースでは、局所的挙動理論を用いて正確な恒等式が導出され、先行研究で用いられた近似手法の必要性が回避される。
• 二重に反射された過程における期待割引配当は、Zq,r(x)/Z′q,r(b) および関数 kq,r(x) の微分を含む公式によって与えられ、これによりオーバーシュート効果が捉えられる。
• a↓−∞ の極限において、資本注入の恒等式は Z′q,r(x) に収束し、配当恒等式は k′q,r(x) に収束する。これにより、無限時間枠ケースの正確な表現が得られる。
• 本稿は、ラプラス指数およびスケール関数フレームワークが混合反射メカニズムに対しても拡張可能であり、簡潔かつ取り扱いやすい表現をもたらすことを確立する。
• 異なる殺去シナリオにおいても結果が安定しており、区間 [a,b]、[a,∞)、および (−∞,b] からの退出に対する明示的公式が導出されている。