[論文レビュー] Spectrum and eigen functions of the operator $H_U f(x)\equiv f(U-1/x)/x^2$ and strange attractor's density for the mapping $x_{n+1}=1/(U-x_n)$

G. G. Kozlov|ArXiv.org|Mar 13, 2008

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非エルミート作用素 $ H_U f(x) = f(U - 1/x)/x^2 $ のスペクトル問題を解き、$ |U| < 2 $ の範囲で正確な固有関数と固有値を導出するとともに、写像 $ x_{n+1} = 1/(U - x_n) $ のスラングアトラクターの不変密度との明示的リンクを確立する。主な結果は、アトラクター密度の明示的公式である：$ \rho(z) = \frac{\sqrt{4 - U^2}}{2\pi(z^2 - U z + 1)} $、これは数値シミュレーションによって確認されている。

ABSTRACT

We solve exactly the spectral problem for the non-Hermitian operator $H_U f(x)\equiv f(U-1/x)/x^2$. Despite the absence of orthogonality, the eigen functions of this operator allow one to construct in a simple way the expansion of an arbitrary function in series. Explicit formulas for the expansion coefficients are presented. This problem is shown to be connected with that of calculating the strange attractor's density for the map $x_{n+1}=1/(U-x_n)$. The explicit formula for the strange attractor's density for this map is derived. All results are confirmed by direct computer simulations.

研究の動機と目的

• 有限性と $ |U| < 2 $ 条件の下で、非エルミート作用素 $ H_U f(x) = f(U - 1/x)/x^2 $ のスペクトル問題を解く。
• 作用素 $ H_U $ の固有関数と写像 $ x_{n+1} = 1/(U - x_n) $ のスラングアトラクターの不変密度との関係を確立する。
• $ |U| < 2 $ の範囲で、スラングアトラクター密度の明示的解析的公式を導出する。
• 直接的なコンピュータシミュレーションを用いて、解析的結果を検証する。

提案手法

• 作用素 $ H_U $ を繰り返し作用させ、関数方程式 $ H_U \sigma = \lambda \sigma $ を解析することで、固有関数 $ \sigma_U^\lambda(x) $ を導出する。
• 変換 $ T x = U - 1/x $ を用いて、固有関数の再帰関係を $ \sigma(x) = \lambda^{-n} \left[ \prod_{k=0}^{n-1} T^k x \right]^{-2} \sigma(T^n x) $ の形に表現する。
• 固有関数の有限性を保つために、固有値 $ \lambda $ が $ |\lambda| = 1 $、つまり $ \lambda = e^{i\phi} $ を満たす必要があることを特定する。
• 固有関数を $ \sigma(x) = \mathcal{L}_U(x) e^{i\theta(x)} $ の形に構成する。ここで $ \mathcal{L}_U(x) = \frac{\sqrt{4 - U^2}}{2\pi(x^2 - Ux + 1)} $ はローレンツ密度である。
• 有理関数のアンザッツ $ G(x) = (1 + a x)/(1 + b x) $ を用いて、関数方程式 $ \theta(U - 1/x) - \theta(x) = \phi + 2\pi M(x) $ を解き、$ \theta(x) = 2 \arctan\left( \frac{x \sin\phi}{x(1 + \cos\phi) - U} \right) $ を得る。
• 固有値 1 に対応する $ H_U $ の固有関数としてアトラクター密度 $ \rho(z) $ を導出し、これが $ \mathcal{L}_U(z) $ と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ |U| < 2 $ の範囲で、非エルミート作用素 $ H_U f(x) = f(U - 1/x)/x^2 $ の固有値と固有関数は何か？
• RQ2 写像 $ x_{n+1} = 1/(U - x_n) $ のスラングアトラクターの不変密度と、作用素 $ H_U $ のスペクトル構造はどのように関係しているか？
• RQ3 カオス的領域 $ |U| < 2 $ において、スラングアトラクター密度の明示的解析的公式を導出可能か？
• RQ4 関数方程式 $ \rho(z) = \frac{1}{z^2} \rho(U - 1/z) $ は、アトラクター密度を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 正規直交性の欠如にもかかわらず、$ H_U $ の固有関数が任意関数の級数展開を可能にするメカニズムは何か？

主な発見

• $ H_U $ の固有関数は $ \sigma_U^\lambda(x) = \mathcal{L}_U(x) e^{i\theta(x)} $ の形をとり、ここで $ \theta(x) = 2 \arctan\left( \frac{x \sin\phi}{x(1 + \cos\phi) - U} \right) $、$ \phi = \arctan\left( \frac{|U|\sqrt{4 - U^2}}{U^2 - 2} \right) $ は $ \sqrt{2} < |U| < 2 $ の場合、$ |U| < \sqrt{2} $ の場合は $ \phi = \arctan\left( \frac{|U|\sqrt{4 - U^2}}{U^2 - 2} \right) + \pi $ である。
• 固有関数が作用素の反復において有限のままであるためには、固有値 $ \lambda $ が $ |\lambda| = 1 $、つまり $ \lambda = e^{i\phi} $ を満たす必要がある。
• 写像 $ x_{n+1} = 1/(U - x_n) $ のスラングアトラクターの不変密度は $ \rho(z) = \frac{\sqrt{4 - U^2}}{2\pi(z^2 - U z + 1)} $ で与えられ、これは $ H_U $ の固有値 1 に対応する固有関数である。
• さまざまな $ U $ 値について、$ |U| < 2 $ の範囲で直接的なコンピュータシミュレーションとの一致が確認された。
• $ |U| > 2 $ の場合、アトラクター密度は、乗数 $ \ae $ の値に応じて $ z = 1/\theta $ もしくは $ z = 1/\xi $ におけるデルタ関数に退化する。
• 関数方程式 $ \rho(z) = \frac{1}{z^2} \rho(U - 1/z) $ は写像のダイナミクスから導出され、$ H_U $ のスペクトル問題の解としてアトラクター密度を一意に特定する。