[論文レビュー] Spectrum of Laplacians for Graphs with Self-Loops

Behçet Açıkmeşe|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Graph theory and applications参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、擬連結グラフの定義と自己ループを含む無向グラフに対するループなしグラフへのリフト変換を導入することで、自己ループを有する無向グラフのラプラシアン行列のスペクトル解析を提案する。本稿では、このようなグラフのラプラシアン固有値がリフトされたグラフの正の固有値スペクトルに含まれ、かつ $2d(\mathbf{G}^o) + 1$ で有界であることを証明しており、分散制御システムにおける安定性解析に有効である。

ABSTRACT

This note introduces a result on the location of eigenvalues, i.e., the spectrum, of the Laplacian for a family of undirected graphs with self-loops. We extend on the known results for the spectrum of undirected graphs without self-loops or multiple edges. For this purpose, we introduce a new concept of pseudo-connected graphs and apply a lifting of the graph with self-loops to a graph without self-loops, which is then used to quantify the spectrum of the Laplacian for the graph with self-loops.

研究の動機と目的

• 自己ループを含むグラフへのラプラシアン行列のスペクトル境界を、自己ループなしグラフへの拡張すること。
• 各連結成分に少なくとも1つの自己ループを含むという条件を満たすグラフとしての「擬連結グラフ」の概念を定義・形式化すること。
• 自己ループを含むグラフをサイズ $2N+1$ 頂点の自己ループなしグラフに写像するリフト技術を開発すること。
• 元のグラフのラプラシアン固有値がリフトグラフの固有値スペクトルに含まれることを確立すること。
• 分散制御および推定システムにおける安定性解析に有用な定量的スペクトル境界を提供すること。

提案手法

• 擬連結グラフの概念を導入：無向かつ自己ループなしのグラフで、各連結成分に少なくとも1つの自己ループを含むもの。
• リフトグラフ $\hat{\mathbf{G}}$ を定義：$\mathbf{G}$ の各頂点 $i$ に対して $i$ と $i+N+1$ を含み、中央頂点 $N+1$ を追加。$\hat{\mathbf{G}}$ は $2N+1$ 頂点から構成される。
• エッジ-頂点接続行列 $\hat{E}$ を構築：$\mathbf{G}^o$ のエッジ $E^o$ と自己ループのためのセレクタ行列 $S$ を用いる。
• リフトグラフのラプラシアンを $\mathcal{L}(\hat{\mathbf{G}}) = \hat{E}^T \hat{E}$ として導出。これは元のエッジのブロックと中央ノードへの接続ブロックを含む。
• 固有ベクトル $[v \; 0 \; -v]^T$ を用いて、$\mathcal{L}(\mathbf{G})$ の任意の固有値 $\psi$ が $\mathcal{L}(\hat{\mathbf{G}})$ の固有値であることを示す。
• 不等式 $\mathcal{L}(\mathbf{G}) \leq \mathcal{L}(\mathbf{G}^o) + I$ を用いて、$\max\sigma(\mathcal{L}(\mathbf{G})) \leq 2d(\mathbf{G}^o) + 1$ を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己ループはグラフラプラシアンの固有値分布にどのように影響するか？
• RQ2 自己ループを含むグラフのラプラシアンが正定値であるための構造的条件は何か？
• RQ3 自己ループなしグラフへの変換を用いて、自己ループ付きラプラシアンのスペクトルを境界づけることは可能か？
• RQ4 自己ループ付きグラフの固有値とリフトされた自己ループなしグラフの固有値の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 ラプラシアンのスペクトル境界をどのように活用することで、分散制御システムにおける安定性解析を可能にするか？

主な発見

• 任意の自己ループを含む無向グラフのラプラシアンが正定値であるための必要十分条件は、そのグラフが擬連結であることである。
• 自己ループを含むグラフの $\mathcal{L}(\mathbf{G})$ のすべての固有値は、リフトグラフ $\hat{\mathbf{G}}$ の固有値スペクトルに含まれる。すなわち、$\sigma(\mathcal{L}(\mathbf{G})) \subseteq \sigma(\mathcal{L}(\hat{\mathbf{G}}))$。
• 擬連結グラフの場合、$\mathcal{L}(\mathbf{G})$ の固有値はリフトグラフ $\hat{\mathbf{G}}$ の正の固有値スペクトルに含まれる。すなわち、$\sigma(\mathcal{L}(\mathbf{G})) \subseteq \sigma_+(\mathcal{L}(\hat{\mathbf{G}}))$。
• $\mathcal{L}(\mathbf{G})$ の最大固有値は、$2d(\mathbf{G}^o) + 1$ で上界が与えられる。ここで $d(\mathbf{G}^o)$ は自己ループなし部分グラフ $\mathbf{G}^o$ の最大次数を表す。
• リフト構成は固有値の包含関係を保ち、既知の自己ループなしグラフの境界を用いたスペクトル解析を可能にする。
• 本結果は、自己ループを含むシステムへの分散観測器の安定性証明を拡張する理論的基盤を提供する。