[論文レビュー] Spectrum of the heat equation with memory

С. А. Иванов, T. Sheronova|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2009

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 3被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、指数関数の和である記憶核を有する1次元熱方程式の固有値スペクトルを分析する。ラプラス変換と複素解析を用いて、核パラメータに成長条件が成り立つ場合、固有値スペクトルは、核のラプラス変換の負の極に近づく実固有値と、虚軸に近い複素共役固有値のペアから構成され、左半平面におけるスペクトル安定性が保証される。

ABSTRACT

We consider the Gurtin-Pipkin equation of the first order in time. For the kernel as a series of exponentials we obtain the structure of the spectrum of the system.

研究の動機と目的

• 1次元の記憶付き熱方程式のスペクトル構造を特定すること。
• 複素平面における固有値の位置と漸近的挙動を分析すること。
• スペクトルが左半平面に含まれるよう保証する記憶核パラメータの条件を確立すること。
• 特に虚軸に近い複素共役固有値ペアの漸近的分布を特徴づけること。

提案手法

• 時間領域におけるボルテラ積分方程式系に帰着するため、フーリエ法を適用する。
• 時間領域の系を、核のラプラス変換を含む複素関数方程式に変換するためにラプラス変換を用いる。
• 特性関数 $ G_n(z) = z + n^2 K(z) $ の零点を分析する。ここで $ K(z) $ は記憶核のラプラス変換である。
• 引数の定理と線積分を用いて、複素平面内の長方形領域内に存在する固有値の数を数え、局所化する。
• ワイエルシュトラスのM検定と漸近解析を用いて、負の実軸から離れた領域で $ |z| \to \infty $ のとき $ K(z) \sim \alpha^2 / z $ となることを示す。
• 基準関数との比較とローチェ型の議論により、複素共役固有値 $ \lambda_n^\pm $ が $ \pm i\alpha n $ の周囲に局所化されることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核が減少率が増加する指数関数の和である場合、記憶付き熱方程式のスペクトル構造はどのようになるか？
• RQ2 核パラメータに一般の条件が成り立つ場合、システムの固有値は複素平面にどのように分布するか？
• RQ3 核パラメータ $ a_k $ と $ b_k $ がどのような条件下でスペクトルが左半平面に含まれるか、安定性が保証されるか？
• RQ4 $ n \to \infty $ のときの固有値の漸近的挙動、特に虚軸に近い複素共役固有値ペアはどのように振る舞うか？
• RQ5 スペクトルが、$ K(z) $ の極に近づく実固有値と、1つの複素共役固有値ペアに分解可能か？

主な発見

• システムのスペクトル $ \Lambda $ はすべて開いた左半平面内に存在し、解の指数的安定性が保証される。
• スペクトルは3つの部分から成る：$ n \to \infty $ のとき $ -\mu_j $ に収束する実固有値の列 $ \lambda_{nj} $ と、複素共役固有値のペア $ \lambda_n^\pm $。
• 実固有値 $ \lambda_{nj} $ は $ -b_{j+1} < \lambda_{n,j} < -\mu_j $ を満たし、固定された $ j $ に対して $ n \to \infty $ のとき $ \lambda_{nj} \uparrow -\mu_j $ に収束する。
• 複素共役固有値は $ \lambda_n^\pm = -i\alpha n + o(n) $ を満たし、$ i\alpha n $ を中心とする幅 $ O(\varepsilon n) $ のボックス内に局所化される。ここで $ \varepsilon > 0 $ は任意である。
• 条件 $ \sup_k \{ b_k(b_{k+1} - b_k) \} = \infty $ がスペクトル分解が成り立つ十分条件であり、この条件は $ b_k \sim k^\alpha $ で $ \alpha > 1/2 $ のとき満たされる。
• モデルケース $ a_k = k^{-\alpha}, b_k = k^\beta $ で $ \alpha + \beta > 1 $ の場合、一般結果と整合的であるが、条件 $ \sup_k b_k(b_{k+1}-b_k) = \infty $ が満たされない可能性があるため、結果は現在の条件を越えて拡張可能であると考えられる。