[論文レビュー] Speed Distribution of N Particles in the Thermostated Periodic Lorentz Gas with a Field

Federico Bonetto, N. Chernov+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2012

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、外部電場下におけるトロイダル周期的ローレンツガス内のN粒子について、正確な定常速度分布を導出する。弱い電場下では、障害物の形状や散乱メカニズムに依存しない普遍性を示す。この結果は、時間スケールの分離に起因する：速やかに方向が平衡化し、速度の変化は遅く進行する。この現象は解析的に検証され、対称的および非対称なビリヤード台を用いた高精度シミュレーションでも裏付けられている。

ABSTRACT

We study the long time evolution and stationary speed distribution of N point particles in 2D moving under the action of an external field E, and undergoing elastic collisions with either a fixed periodic array of convex scatterers, or with virtual random scatterers. The total kinetic energy of the N particles is kept fixed by a Gaussian thermostat which induces an interaction between the particles. We show analytically and numerically that for weak fields this distribution is universal, i.e. independent of the position or shape of the obstacles or the nature of the stochastic scattering. Our analysis is based on the existence of two time scales; the velocity directions become uniformized in times of order unity while the speeds change only on a time scale of O(|E|^-2).

研究の動機と目的

• 外部電場下におけるトロイダル周期的ローレンツガス内での相互作用する粒子の非平衡定常状態（NESS）の明示的解析的表現を導出すること。
• 異なる障害物の幾何形状や散乱メカニズム（決定論的 vs. ストキャスティック）においても、1粒子の速度分布の普遍性を確立すること。
• ガウス・サーモスタットが定常的なエネルギーと電流の流れを維持する役割を調査すること。
• 弱い電場近似下で、速度分布がビリヤード台の形状に依存しないことを解析的および数値的に検証すること。
• 無限大Nの極限から逸脱する1次補正項を有限Nに対して拡張し、Eの1次に依存する補正を計算すること。

提案手法

• 系を2次元単位トーラス上に配置されたN個の点粒子としてモデル化し、一定の外部電場Eと、全運動エネルギーを一定に保つガウス・サーモスタットを導入する。
• 運動方程式において、サーモスタット力は(E·J)v_i / Uに比例するように設定され、dU/dt = 0を満たす。
• 時間スケールの分離を活用する：速度の方向はO(1)時間スケールで平衡化し、速度の変化はO(|E|⁻²)スケールでゆっくり進行する。
• 衝突をエネルギー保存と角度分布の均一化を満たす仮想的なランダム散乱に置き換えた確率的モデルを分析する。
• 時間スケールの分離とN=1系の性質を用いて、速度分布の主要項不変測度を導出する。
• 3種類の異なるビリヤード台（A, B, C）に対して高精度数値シミュレーションを実施し、Kolmogorov-Smirnov検定を用いて理論的予測の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部電場下におけるトロイダル周期的ローレンツガス内N粒子の定常速度分布は、障害物の幾何形状に依存しないか？
• RQ2 散乱メカニズムを決定論的からストキャスティックに変更しても、速度分布は依然として普遍的か？
• RQ3 弱い電場近似下における1粒子速度分布の解析的形は何か？
• RQ4 Eの1次補正項は、系のパラメータやビリヤード台の幾何形状にどのように依存するか？
• RQ5 導出された形式を用いて、N=3における完全な不変測度をN=1の解から予測できるか？

主な発見

• 弱い電場近似下で、1粒子の速度分布は普遍的であり、ビリヤード台の形状や散乱の性質（決定論的またはストキャスティック）に依存しない。
• 時間スケールの分離とN=1系の力学に基づく理論的予測は、N=5およびN=512の数値データと一致し、Kolmogorov-Smirnov検定のp値が23%以上である。
• N=3の場合、速度と角度の全結合分布は理論的予測（式32）と一致し、局所分布とグローバル分布のフーリエ係数の比較により、適合パラメータなしに確認された。
• Eの1次補正項は解析的に導出され、その依存性は全ビリヤード台の幾何形状に依存せず、N=1系の性質にのみ依存することが示された。
• 数値的シミュレーションにより、中程度の電場強度に対しても普遍的分布が成立することが確認されたが、その有効範囲は台の非対称性に依存する。
• 確率的モデルと決定論的モデルの速度分布の一致は、E→0の極限で正確であり、有限Eに対しても強く保たれ、物理的普遍性の深いつながりを示唆している。